Классификация случайных событий. Классическое определе­

Вид операции	Выражение знач. Сл\в
Выр знач вер-ти
		не изм-ся
x²	x²	не изм-ся
x+y
xy

10. 
    Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.
    

Закон (ряд) распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, т.к. позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако такой закон (ряд) распределения бывает трудно обозримым, не всегда удобным (и даже необходимым) для анализа. Рассмотрим, например, задачу.
Задача. Известны законы распределения случайных величин Х и У - числа очков, выбиваемых l-м и 2-м стрелками.
Н еобходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.
Рассматривая ряды распределения случайных величин Х и У, ответить на этот вопрос далеко не просто из-за обилия числовых значений. К тому же у первого стрелка достаточно большие вероятности (например, больше 0,1) имеют крайние значения числа выбиваемых очков (Х = 0;1 и Х = 9;10), а у второго стрелка - промежуточные значения (У = 4;5;6) (см. многоугольники распределения вероятностей Х и У на рис).
Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является ее математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Обратим внимание на механическую интерпретацию математического ожидания. Если предположить, что каждая материальная точка с абсциссой xi имеет массу, равную pi (i = 1,2,...,n), а вся единичная масса распределена между этими точками, то математичекое ожидание представляет собой абсциссу центра масс системы материальных точек. Так, для систем материальных точек, соответствующим распределениям Х и У в примере, центры масс совпадают: М(Х) = М(У) = 5,36 (см. рис.).

Если дискретная случайная величина Х принимает бесконечное, но счетное множество значений x1,x2,...,xn,..., то математическим ожиданием, или средним значением, такой дискретной случайной величины называется сумма ряда (если он абсолютно сходится):

Так как данный ряд может и расходиться, то соответствующая случайная величина может и не иметь математического ожидания. Например, случайная величина Х с рядом распределения

не имеет математического ожидания, ибо сумма ряда равна ∞. На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, математическое ожидание существует.
Рассмотрим свойства математического ожидания.

1. 
   Математическое ожидание постоянной величины равно са­ мой постоянной: .
   

□ Постоянную величину С можно рассматривать как величину, принимающую значение С с вероятностью 1. Поэтому М(С) = С·1 = 1.■