Классификация случайных событий. Классическое определе­

P(ABC...KL) = Р(А)· Р_А(В)· Р_АВ(С) ... Р_АВС...К(L),
Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.
Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.
Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р(А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность Р_A(В) = 7 / 9.
По теореме умножения, искомая вероятность Р(АВ) = Р(А)•Р_A(В) = (3/10)• (7/9) = 7/30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р(В) = 7/10, Р_B(А) = 3/9, Р(В)•Р_B(А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства.

6. 
   Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
   

Формула полной вероятности. Теорема.

Теорема. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) A1,А2,…,Аn образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события F:

□ По условию гипотезы А₁,А₂,…,А_n образуют полную группу, следовательно, они единственно возможные и несовместные. Т.к гипотезы А₁,А₂,…,А_n - единственно возможные, а событие F может произойти только вместе с 1 из гипотез, то
.
В силу того что гипотезы А₁,А₂,…,А_n несовместны, можно применить теорему сложения вероятностей:
По теореме умножения вероятностей .■
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.
Она применяется, когда событие F, которое может появиться только с одной из гипотез А₁,А₂,…,А_n образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез P(A₁), Р(А₂),..., Р(А_n), известных о испытания, Т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез P_F(A₁),P_F(А₂),...,Р_F(А_n).
□ Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий F и Аi в двух формах:
, откуда
или с учетом формулы полной вероятности: . ■
Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события Р, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в эк-ке, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.
Пример: Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: а) l-му стрелку; б) 2-му стрелку?