Классификация случайных событий. Классическое определе­

Решение. Обозначим события:
А₁ - оба стрелка не попали в мишень; А₂ - оба стрелка попали в мишень; А₃ - 1-й стрелок попал в мишень, 2-й нет; А₄ - 1-й стрелок не попал в мишень, 2-й попал; F - в мишени одна пробоина (одно попадание).
Найдем вероятности гипотез и условные вероятности события F для этих гипотез:
Р(A₁) = 0,2 · 0,6 = 0,12, Р_А1(F) = 0;
Р(А₂) = 0,8 · 0,4 = 0,32, Р_А2(F) = 0;
Р(А₃) = 0,8 · 0,6 = 0,48, Р_А3(F) = l;
Р(А₄) = 0,2 · 0,4 = 0,08, Р_А4(F) = l.
Теперь по формуле Байеса:
, ,
Т.е. вероятность того, что попал в цель l-й стрелок при наличии одной пробоины, в 6 раз выше, чем для второго стрелка.

7. 
   Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.
   

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Эта последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.
Формула Бернулли
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Р_m,n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

Где .
□ Пусть и - соответственно появление и непоявление события А в i-ом испытании (i = 1,2,...,n), а - событие, состоящее в том, что в n независимых испытаниях событие А появилось m раз.
Представим событие через элементарные события .
Например, при n = 3, m = 2 событие ,
т.е. событие А произойдет 2 раза в 3 испытаниях, если оно произойдет в l-м и 2-м испытаниях (и не произойдет в 3-м), или в l-м и 3-м (и не произойдет во 2-м), или произойдет во 2-м и 3-м (и не произойдет в l-м).
В общем виде
,
Т.е. каждый вариант появления события Вm (каждый член суммы) состоит из m появлений события А и n-m непоявлений, т.е. из m событий А и из n-m событий с различными индексами.
Число всех комбинаций (слагаемых суммы) равно числу способов выбора из n испытаний m, в которых событие А произошло, т.е. числу сочетаний . Вероятность каждой такой комбинации (каждого варианта появления события Вm) по теореме умножения для независимых событий равна , т.к. , а , i = 1,2,...,n. В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, по теореме сложения вероятностей получим
.■

8. 
   Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее примени­мости. Свойства функции Дх). Пример.
   

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от О и 1, то вероятность Р_m,n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

где Р - вероятность осуществления события в отдельном испытании, q - вероятность неосуществления события в отдельном испытании, n – кол-во испытаний.
Где - функция Гаусса. И
Чем больше n, тем точнее приближенная формула. Приближенные значения вероятности Р_m,n на практике используются как точные при npq порядка двух и более десятков, Т.е. при условии npq ≥ 20.
Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы, составлена таблица значений функции f(x). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции f(х).
1. Функция является четной, т.е. f(-x) = f(x).
2. Функция f(x) - монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х → ∞ f(x) → 0.
(Практически можно считать, что уже при х > 4 f(x) ≈ 0.
Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.
Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна р = 80/100 = 0,8. Т.к. n = 100 достаточно велико (условие npq = 100·0,8(1-0,8)=64 ≥ 20 выполнено), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.
Вначале определим по формуле : .
Тогда по формуле : .
(значение f(2,50) найдено по табл.). Весьма малое значение вероятности Р₃₀₀,₄₀₀ не должно вызывать сомнения, т.к. кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400», ... , «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна 1.
Пусть в условиях примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность искомого события
.

9. 
   Асимптотическая формула Пуассона и условия ее примени­мости. Пример.
   

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Р_m,n появления события А при большом числе испытаний n, например, Р_300,500. По формуле Бернулли:

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более если учесть, что сами р и q - числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления при больших n. Такие формулы, называемые, асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. Наиболее простой из них является теорема Пуассона.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р → 0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n → 0), причем произведение nр стремится к постоянному числу λ(nр → λ), то вероятность Рm,n того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:

□ По формуле Бернулли или, учитывая, что , т.е. при достаточно больших n и .

Т.к. , и , то .■
Строго говоря, условие теоремы Пуассона р → 0 при n → ∞, так что nр → λ, противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании р = const. Однако, если вероятность р - постоянна и мала, число испытаний n - велико и число λ = nр - незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:
.
Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?
Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна р = 1/365. Т.к. р = 1/365 - мала, n = 1825 - велико и λ = nр = 1825·(1/365) = 5 ≤ 10, то применяем формулу Пуассона:
: (по табл.)

10. 
    Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства. Пример.
    

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна
,
Где - функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;
, .
Формула называется интегральной формулой Муавра­Лапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула , так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.
Функция Ф(х) табулирована (см. табл.). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции:

1. 
   Функция Ф(х) нечетная, Т.е. Ф(-х) = -Ф(х).
   
2. 
   Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при х → +∞ Ф(х) → 1 (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(х) ≈ 1).
   

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.
Решение. Применяем интегральную теорему Муавра­Лапласа (npq = 64 ≥ 20). Вначале определим:
,
.
Теперь по формуле , учитывая свойства Ф(х), получим
.
(по табл. Ф(2,50) = 0,9876, Ф(5,0) ≈ 1)

10. 
    Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с вы­водом). Примеры.
    

Рассмотрим следствие интегральной теоремы Муавра­Лапласа.