Klassik to’plamlar uchun quyidagi amallar kiritilgan

1.2.1. t-normalarga asoslangan amallar

t-norm - bu [0,1] dagi binar t amal, ya’ni kommutativ, assotsiativ va [0,1] da monoton kamayuvchi [0,1] dan iborat t binar funksiya bo’lib, neytral element sifatida 1 ga va nol element holida 0 ga egadir. Bunda t uchun ixtiyoriy larda t-normaga nisbatan quyidagi shartlar bajarilishi kerak [101]:

xty=ytx,
xt(ytz)=(xty)tz.
Agar va bo’lsa, u holda ; хt1=x va xt0=0.
Har bir t-normaga nisbatan noravshan to’plamlar ustidagi kesishma amalini barcha uchun hosil qilib olish mumkin:
.
Barcha kesishma amallari mos t-normalardan huddi shu shaklda hosil qilinadi. uchun mos t-norm amali bo’lib, unda uchun:
.
Algebraik ko’paytma uchun quyidagi t-normadan hosil qilinadi:
.
Cheklangan ko’paytma uchun quyidagi t-norma bilan xarakterlanadi:
.
Qat’iy (drastic) ko’paytma quyidagi t-norma yordamida hosil qilinadi:

To’ldirma amalini kesishma amali bilan qo’llab, ikkilamchi t-normaga asoslangan birlashma amalini hosil qilish mumkin:
.
t-norma asosidagi kesishma va birlashma amallarining asosiy g’oyasi min amalini t-norma bilan almashtirishdan iboratdir. Bu g’oya noravshan kartezian ko’pyatmaga nisbatan ham qo’llanilishi mumkin. Bunda t-normaga asoslangan kartezian ko’paytmadan foydalaniladi:
.
Ko’rinib turganidek, noravshan to’plamlar ustida olib boriladigan amallarga mo’ljallangan keng qamrovli operatorlar spektri mavjud. Qanday hollarda qanaqa operatorlardan foydalanish masalasi katta qiziqish tug’diradi. [5] da mos operatorlarni tanlashning 8 ta mezoni keltiriladi: aksiomatik kuch; empirik saqlash; moslashish imkoni; hisoblash samaradorligi; o’rnini bosish; o’rnini bosish chegaralari; amalning hatti-xarakati; tegishlilik funksiyalarini shkalashtirishning zaruriy darajasi.
F-to’plamlar.
F-to’plamlar deb ixtiyoriy X to’plamning F(X) noravshan qism to’plamlariga aytiladi, ularning tegishlilik funksiyalarini esa F-funksiyalar deb atashadi. Odatda tegishlilik funksiyasi deganda X to’plamni ga qisqartirish tushuniladi, bu yerda noravshan qism to’plamning tashuvchisidir:
.
F-to’plamni belgilash uchun quyidagi ko’rinishdagi yozuv qo’llaniladi:
.
Masalan,
, .
Ravshan to’plamlarning birlashmasi va kesishmasi kommutativ, assotsiativ bo’lib, shuningdek bir-biriga nisbatan distributiv xossalarga egadirlar. F-to’plamlarning shu kabi xossalarini aniqlash quyidagi funksiyalarini tahlil qilishga keltiriladi [20,21]:
,
,
bu yerda
.
Quyidagi munosabatlar f va g funksiyalar xossalarining natijalaridir.
Bu yerda .

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   .
   
4. 
   .
   
5. 
   .
   
6. 
   .
   
7. 
   .
   
8. 
   .
   
9. 
   .
   
10. 
    .
    

Qabul qilingan belgilashlarda quyidagi to’rtta turlar F-to’plamlarning kesishmasini hamda birlashmasini ifodalaydilar [30,54,100,106]:
, ,


, ,


, ,


, .
F-to’plamning qayd etilgan kesishma va birlashma variantlari min va max funksiyalari orqali ifodalangan ta’rifni ma’lum darajadagina qanoatlantiradi. F(X) dan olingan A va B to’plamlarning ayirmasi deb quyidagi ko’rinishdagi F funksiyali С=A\B to’plamga aytiladi:

Х\А ayirma A to’plamning F-to’ldiruvchisi deb ataladi va A’ bilan belgilanadi.
.
F(X) dan olingan A va B uchun quyidagi munosbatlar o’rinli:

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   .
   
4. 
   .
   
5. 
   .
   
6. 
   .
   
7. 
   .
   
8. 
   .
   

6 va 7 tengliklar de Morgan qoidalari deb ataladilar va mos ravishda quyidagi ayniyatlardan kelib chiqadilar:

;
.