Ko’chish va harakat tushunchalari nazariy mexanikaning asosiy tushunchalari hisoblanadi

Қутбдан айланма ҳаракат йўналишида О нуқтанинг тезлик векторига перпендикуляр ОК чизиқни ўтказамиз.

ОК чизиқда тенгликка мос келувчи текис шакл нуқтаси -

Р тезликлар оний маркази

5-mavzu

Текис шакл ихтиёрий нуқтасининг тезланиши қутб тезланиши билан мазкур нуқтанинг қутб атрофида айланишидаги тезланишининг геометрик йиғиндисига тенг.

𝑊⃗⃗⃗𝑀𝐴 айл = 𝜀⃗ × 𝑟⃗ айланма ташкил этувчиси, 𝑊⃗⃗⃗𝑀𝐴 ми = 𝜔⃗⃗ × 𝑣⃗𝐴𝐵 марказга интилувчи ташкил этувчиси.

Тезланишларнинг оний маркази - текис шаклнинг берилган ондаги тезланиши нолга тенг бўлган нуқтаси (ёки текис шаклга боғланган ва у билан биргаликда ҳаракатланувчи текисликнинг нуқтаси)

Агар текис шакл бирор А нуқтасининг тезланиши 𝑊⃗⃗⃗ 𝐴 ва текис шаклнинг бурчак тезлиги  ҳамда бурчак тезланиши 𝜀 берилган бўлса, тезланишларнинг оний маркази қуйидагича аниқланади. Дастлаб А нуқтадан 𝑊⃗⃗⃗ 𝐴 тезланиш векторига 𝑡𝑔𝜇 = |𝜀|/𝜔2 бурчак остида ярим тўғри чизиқ ўтказамиз. Ярим тўғри чизиқ айланиш йўналишида ўтказилади, агар 𝜀 > 0, 𝜀 < 0 бўлса, айланиш йўналишига тескари ва шу ярим тўғри чизиқда 𝐴𝑄 = 𝑊𝐴 √(𝜔⁴+𝜀²) масофада жойлашган 𝑄 нуқта олинади.

𝑸 нуқтанинг шу ондаги тезланиши нолга тенг бўлиб, тезланишлар оний маркази дейилади.

6-mavzu

Эйлер бурчаклари. Сферик ҳаракат тенгламалари. Жисмнинг қўзғалмас О нуқта атрофидаги ҳаракатини ўрганиш учун O қўзғалмас координаталар системасини ва жисм билан маҳкам бириктирилган ҳамда у билан бирга ҳаракатлана оладиган Охуz координаталар системасини ўтказамиз. Жисм ҳаракатини ўрганиш учун O қўзғалмас системани асосий координаталар системаси деб қабул қилиб, Oxyz қўзғалувчи координаталар системасининг ҳаракатини асосий системага нисбатан ўрганиш кифоя. Қўзғалувчи Oxyz системанинг қўзғалмас системага нисбатан вазиятини Эйлер бурчаклари деб аталувчи учта бурчак орқали аниқлаш мумкин

Сферик ҳаракатдаги жисмнинг бир ҳолатдан бошқа ҳолатга кўчиши қуйидаги Эйлер—Даламбер теоремаси билан аниқланади. Теорема. Қўзғалмас нуқта атрофида айланувчи қаттиқ жисмнинг бир ҳолатдан иккинчи ҳолатга ўтишини қўзғалмас нуқта орқали ўтувчи бирор ўқ атрофида бир айлантириш билан бажариш мумкин.

Бу теореманинг механик маъноси қуйидагича: Қаттиқ жиемнинг қўзғалмас нуқта атрофидаги ҳаракатини кетмакет узлуксиз элементар кўчишлардан иборат деб қараш мумкин.

Оний ўқнинг ҳаракатсиз фазода чизган конуссимон сирт қўзғалмас аксоид, жисмда чизган конуссимон сирт қўзғалувчи аксоид дейилади

Қаттиқ жисмнинг сферик ҳаракатини итальян олими Пуансо геометрик тарзда қуйидагича тасвирлайди: қўзғалмас нуқтаси бўлган қаттиқ жисмнинг бир ҳолатдан иккинчи ҳолатга ўтишини қўзғалувчи аксоидни қўзғалмас аксоид устида сирпантирмасдан думалатиш натижасида амалга ошириш мумкин

Қўзғалмас нуқтага эга бўлган қаттиқ жисмнинг айланиш оний ўқи атрофида элементар бурчакка айланишидаги   бурчак тезлик оний бурчак тезлик дейилади.

7-mavzu

Нуқтанинг нисбий, кўчирма ва мураккаб ҳаракатлари М нуқтанинг қўзғалмас 𝑂1𝜉𝜂𝜁 координаталар системасига нисбатан мураккаб ҳаракатини текширамиз. Бунинг учун 𝑂1𝜉𝜂𝜁 га нисбатан эркин қаттиқ жисм каби ҳаракатланаётган 𝑂𝑥𝑦𝑧 координаталар системасини оламиз. М нуқтанинг қўзғалувчи Oxyz координаталар системасига нисбатан ҳаракати нисбий ҳаракат дейилади. Нуқтанинг нисбий ҳаракати текширилаётганда қўзғалувчи координаталар системасининг ҳаракати фикран эътиборга олинмайди. Нуқтанинг нисбий ҳаракатда чизган траекторияси нисбий траектория дейилади. Нуқтанинг нисбий траектория бўйлаб ҳаракат тезлиги нисбий тезлик, нисбий тезликнинг нисбий ҳаракат траекторияси бўйича ўзгаришини ифодаловчи тезланиш нисбий тезланиш дейилади. Нисбий тезлик 𝑣⃗𝑟 билан, нисбий тезланиш 𝑤⃗⃗𝑟 билан белгиланади. М нуқтани Oxyz қўзғалувчи координаталар системасига нисбатан берилган онда фикран қўзғалмас деб қараб, унинг қўзғалувчи координаталар системаси билан биргаликда қўзғалмас 𝑂1𝜉𝜂𝜁 координаталар системасига нисбатан қилган ҳаракати кўчирма ҳаракат дейилади. Нуқтанинг кўчирма ҳаракати қўзғалувчи координаталар системасининг қўзғалмас координаталар системасига нисбатан ҳаракати билан аниқланади. Ҳаракати кузатилаётган М нуқтани берилган онда қўзғалувчи Oxyz координаталар системасининг бирор нуқтаси билан устма- уст тушган ва унга нисбатан қўзғалмас деб қараб, шу нуқтанинг қўзғалувчи координаталар системаси билан биргаликда қўзғалмас координаталар системасига нисбатан ҳаракат тезлиги берилган онда кўчирма тезлик ва тезланиши кўчирма тезланиш дейилади. Кўчирма тезлик 𝑣⃗𝑒 билан, кўчирма тезланиш 𝑤⃗⃗𝑒 билан белгиланади. М нуктанинг бевосита қўзғалмас координаталар системасига нисбатан ҳаракати мураккаб ҳаракат ёки абсолют ҳаракат дейилади. Нуқтанинг бундай ҳаракат тезлиги абсолют тезлик, тезланиши абсолют тезланиш дейилади. Абсолют тезлик 𝑣⃗𝑎 билан, абсолют тезланиш 𝑤⃗⃗𝑎 билан белгиланади

Шундай қилиб, нуқтанинг абсолют ҳаракат тезлиги ушбу кўринишда ёзилади: 𝑣⃗𝑎 = 𝑣⃗𝑒 + 𝑣⃗𝑟 Теорема. Нуқтанинг абсолют ҳаракат тезлиги унинг нисбий ва кўчирма ҳаракат тезликларининг геометрик йиғиндисига тенг.

Тезланишларни қўшиш теоремаси. Кориолис тезланиши. Нуқтанинг абсолют тезлиги 𝑣⃗𝑎 = 𝑣⃗𝑒 + 𝑣⃗𝑟 дан вақт бўйича ҳосила оламиз:

𝑊⃗⃗⃗ 𝑘 = 2[𝜔⃗⃗ × 𝑣⃗𝑟 ] - қўшимча ёки Кориолис тезланиши. Шундай қилиб, нуқтанинг абсолют ҳаракат тезланиши унинг 𝑾⃗ ⃗ 𝒂 = 𝑾⃗ ⃗ 𝒆 + 𝑾⃗ ⃗ 𝒓 + 𝑾⃗ ⃗ 𝒌 нисбий, кўчирма ва Кориолис тезланишларнинг геометрик йиғиндисига тенг экан. Агар кўчирма ҳаракат илгариланма ҳаракатдан иборат бўлса, у ҳолда 𝜔⃗⃗ = 0 ва ўз навбатида 𝑊⃗⃗⃗ 𝑘 = 0, яъни қўшимча тезланиш нолга тенг бўлади

Кориолис тезланишининг йўналишини қуйидаги Жуковский қоидаси асосида аниқлаш қулайдир: Кориолис тезланишининг йўналишини аниқлаш учун нуқтанинг нисбий тезлигини кўчирма ҳаракат айланиш ўқига перпендикуляр текисликка проекциялаб, бу проекцияни мазкур текисликда, кўчирма ҳаракат айланиши йўналишида 90 бурчакга буриш керак.

8-mavzu

Жисмнинг ҳаракати унга қуйилган кучгагина боғлиқ бўлиб қолмай, балки жисмнинг инертлик хусусиятига ҳам боғлиқдир. Бир кучни икки жисмга айрим-айрим таъсир эттирилса, айнан бир хил вақт ичида жисмлар турли масофаларни босиб ўтиши ва олган тезликлари турлича бўлиши тажрибада аниқланган. Жисмнинг қуйилган кучлар таъсирида ўз тезлигини тез ёки секин ўзгартириш хусусияти жисмнинг инертлиги дейилади.

Жисмнинг инертлигини миқдор жиҳатдан ифодаловчи физик катталик жисмнинг массаси дейилади

Моддий нуқта - ҳаракатини ўрганишда ўлчамлари ахамиятга эга бўлмаган, лекин массага зга бўлган жисм.

1-конун (инерция қонуни). Ташқи таъсирлардан ҳоли бўлган моддий нуқта бирор куч таъсир этмагунча ўзининг тинч ҳолатини ёки тенг ўлчовли туғри чизиқли ҳаракатини сақлашга интилади.

Моддий нуқтанинг куч таъсирида олган тезланиши билан массасининг кўпайтмаси миқдор жиҳатдан шу кучга тенг бўлиб, тезланиши куч билан бир хил йўналишда бўлади. Mw=f

Ma=F Бу тенглама динамиканинг асосий тенгламаси

3-конун (таъсир ва акс таъсирнинг тенглиги қонуни). Иккита моддий нуқта. миқдорлари тенг ва шу нуқталарни туташтирувчи туғри чизиқ бўйлаб қарама-қарши томонга йўналган кучлар билан бирбирига таъсир этади.

4-конун (кучлар таъсирининг ўзаро мустақиллиги қонуни). Моддий нуқтанинг унга қуйилган бир неча кучлар таъсирида олган тезланиши ҳар бир кучнинг алохида таъсирида нуқта оладиган тезланишларнинг геометрик йиғиндисига тенг.

Динамиканинг иккинчи асосий масаласида нуқта ҳаракатининг айрим ҳоссалари берилиб, нуқтага таъсир вилаётган кучни аниқлаш асосий мақсад қилинади.

9-mavzu

Agar jismning holati yoki harakati biror sabab bilan cheklangan bo‘lsa, bunday jism bog‘lanishdagi jism deyiladi. Jismning holati yoki harakatini cheklovchi sabab esa bog‘lanish deyiladi. Bog‘lanishning jismga ko‘rsatadigan ta’siriga bog‘lanish reaksiya kuchi deyiladi. Bog‘lanish reaksiya kuchi bog‘lanishdagi jismning harakati cheklangan tomonga teskari yo‘naladi.

Bog‘lanishdan bo‘shatish prinsipi: Bog‘lanishdagi jismni erkin jism shakliga keltirish uchun jismga ta’sir etuvchi kuchlar qatoriga bog‘lanish reaksiya kuchini ham qo‘shish kerak.

Bog`lanishni asosiy turlari

1. 
   Jism silliq sirtga tiranib turgan bo’lsin
   
2. 
   Sharnirli bog‘lanishlar
   
3. 
   Ip, zanjir va qayishlar vositasidagi bog‘lanishlar.
   

Ta’rif. Jismning A nuqtasiga qo‘yilgan 𝐹⃗ kuchning O nuqtaga nisbatan momenti deb, mos ishora bilan olingan kuch moduli F ni kuch yelkasi d ga ko‘paytmasiga teng kattalikka aytiladi

Kuchning nuqtaga nisbatan momenti quyidagi xossalarga ega:

1. Kuchning miqdori va yo‘nalishini o‘zgartirmay, ta’sir chizig‘i bo‘ylab ixtiyoriy nuqtaga ko‘chirishdan, kuch yelkasi o‘zgarmay qolishi tufayli, kuch momenti o‘zgarmaydi.

2. Kuchning ta’sir chizig‘i moment markazidan o‘tsa, uning shu nuqtaga nisbatan momenti, kuch yelkasi nolga teng bo‘lganligi uchun, nolga teng bo‘ladi.

10-mavzu

Массаси 𝑚 бўлган моддий нуқтани марказий 𝐹⃗ = −𝑐𝑟⃗ куч таъсиридаги тўғри чизиқли ҳаракатини кўриб чиқамиз. Бундай кучга Гук қонунига бўйсунадиган пружинанинг эластиклик кучи ҳам тегишли. 𝐹⃗ кучни яна қайтарувчи куч деб ҳам аташади. Нуқтанинг тўғри чизиқли ҳаракати мавзусида кўрилганидек, агар нуқтанинг бошланғич тезлиги куч бўйлаб йўналган бўлса, нуқтанинг траекторияси тўғри чизиқдан иборат бўлади.

Массаси 𝑚 бўлган моддий нуқтага марказий 𝐹⃗ = −𝑐𝑟⃗ кучдан ташқари ёнуқта тезлигига пропорционал бўлган 𝑅⃗⃗ = −𝜇𝑣̄ куч таъсир қилсин. 𝒎 𝒅𝒗⃗⃗ 𝒅𝒕 = 𝑭⃗⃗ + 𝑹⃗⃗ ёки Ox ўққа проекциялаб 𝒎𝒙̈= −𝒄𝒙 − 𝝁𝒙̇ ҳаракат дифференциал тенгламасига эга бўламиз. Тенгламанинг иккала томонини 𝑚 га бўлиб, 𝒙̈+ 𝒌 𝟐𝒙 + 𝟐𝒏𝒙̇ = 𝟎 чизиқли қаршилик кучи остидаги нуқтанинг эркин тебранма ҳаракат дифференциал тенгламасига эга бўламиз. Бунда 𝑘 2 = 𝑐 𝑚 , 2𝑛 = 𝜇 𝑚 . Чизиқли 𝑥̈+ 2𝑛𝑥̇ + 𝑘 2𝑥 = 0 тенгламанинг умумий ечими 𝑥 = 𝐶1𝑒 𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑒 𝜆2𝑡 , 𝑥 = 𝑒 𝜆𝑡 кўринишда бўлади. Бунда 1 2  , характеристик тенгламанинг ечими. Бунга кўра характеристик тенглама учун 𝑒 𝜆𝑡(𝜆 2 + 2𝑛𝜆 + 𝑘 2 ) = 0 ўринли. Тенгламада 𝑒 𝜆𝑡 ≠ 0 бўлгани учун, 𝜆 га нисбатан 𝜆 2 + 2𝑛𝜆 + 𝑘 2 = 0 муносабат ўринли. Квадрат тенгламани ечиб 𝜆1,2 = −𝑛 ± √𝑛 2 − 𝑘 2 натижага эга бўламиз. Шундай қилиб, характеристик тенгламанинг ечимлари 𝑛, 𝑘 ўзгармасларнинг қийматларига боғлиқ бўлар экан.

1) 𝑛 < 𝑘 бажарилса, характеристик тенгламанинг ечимлари 𝜆1,2 = −𝑛 ± √𝑛 2 − 𝑘 2 = −𝑛 ± 𝑖𝑘1 , 𝑘1 = √𝑘 2 − 𝑛 2 мавҳум бўлади ва чизиқли тенгламанинг умумий ечими 𝒙 = 𝒆 −𝒏𝒕 (𝑨𝒄𝒐𝒔𝒌𝟏 𝒕 + 𝑩 𝒔𝒊𝒏 𝒌𝟏 𝒕) = 𝒂𝒆 −𝒏𝒕 𝒔𝒊𝒏(𝒌𝟏𝒕 + 𝜶), бунда 𝐴 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝛼 , 𝐵 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼. Бу ҳолда қавс ичидаги ҳад даврий эканлигини эътиборга олиб (𝑡 → ∞, 𝑒 −𝑛𝑡 → 0), шартли равишда ҳаракатни сўнувчи тебранма ҳаракат деб аташади.

𝑇1 = 2𝜋 √𝑘2−𝑛2 катталик сўнувчи тебранма ҳаракат даври деб аталади.

𝐷 = |𝑙𝑛 𝑒 −𝑛𝑇| = 𝑘1𝑇 катталик тебраниш декременти деб аталади

2)Агар 𝑛 > k Апериодик тебранма ҳаракат 𝒙 = 𝒆 −𝒏𝒕(𝑨 𝒄𝒉(𝒌𝟐𝒕) + 𝑩 𝒔𝒉(𝒌𝟐𝒕))

3)Агар 𝑛 = 𝑘 бўлса нуқта вақт ўтиши билан тортиш марказига интилади.

Динамиканинг асосий тенгламасига кўра, 𝒎𝒘⃗⃗ = −с 𝒓⃗⃗ ва координата ўқига проекциялаб 𝒎𝒙̈= −𝒄 𝒙 ёки тенгламани иккала томонини 𝑚 га бўлиб ва 𝑘 2 = 𝑐 𝑚 белгилашдан сўнг 𝑥̈+ 𝑘 2𝑥 = 0 иккинчи тартибли чизиқли тенгламага эга бўламиз.

𝑥 = 𝑒 ^(𝜆𝑡)

Олинган тенглама гармоник тебранма ҳаракат тенгламаси бўлиб, унинг умумий ечими

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑘 𝑡 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝑘 𝑡

кўринишга эга. Бунда A, B интеграллаш доимийлари. Кўпгина ҳолларда бу доимийларнинг ўрнига янги 𝐴 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ,𝐵 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼 муносабатларга кўра 𝑎, 𝛼 ўзгармасларни киритсак, тенгламанинг ечимини қўйидаги 𝒙 = 𝒂 𝒔𝒊𝒏( 𝒌𝒕 + 𝜶) кўринишда ёзиш мумкин. Нуқтанинг бундай ҳаракати оддий гармоник тебранма ҳаракат деб аталади.

Шуни таъкидлаш керакки, тебраниш даври бошланғич шартларга боғлиқ бўлмаган тебранишлар изохрон тебранишлар деб аталади.

11-mavzu

Таъриф. Бир-бири билан маълум муносабатда боғланган ҳамда ҳар бир нуқтасининг ҳаракати бошқа нуқталарининг ҳолати ва ҳаракатига боғлиқ бўлган моддий нуқталар тўплами механик система

Агар механик системани ташкил этувчи нуқталар орасидаги масофалар доимо ўзгармасдан қолса, бундай механик система ўзгармас механик система дейилади

Берилган механик система нуқталарига таъсир этувчи кучлар ички ва ташқи кучларга ажратилади. Ички кучлар - механик системани ташкил этувчи нуқталарнинг ўзаро таъсир кучлари. Ички кучлар, одатда, 𝐹⃗𝑖 билан белгиланади. Ташқи кучлар - механик система нуқталарига бу системага кирмайдиган нуқта ёки жисмларнинг таъсир кучлари. Ташқи кучлар 𝐹⃗𝑒 билан белгиланади.

Боғланишдаги механик система нуқталарига таъсир этувчи кучлар боғланиш реакция кучларига ва актив кучларга ажратилади. Бу кучлар ўз навбатида ички ёки ташки кучлар бўлиши мумкин

Cистема нуқталарига таъсир этувчи ички кучларнинг геометрик йиғиндиси (бош вектори) нолга тенг бўлади.

Ички кучларнинг ихтиёрий нуқтага нисбатан ҳисобланган моментларининг геометрик йиғиндиси ёки ихтиёрий ўққа нисбатан моментларининг йиғиндиси нолга тенг бўлади.

Радиус-вектори 𝑟 ⃗ 𝑐 = ∑ 𝑚𝑖𝑟 ⃗ 𝑖 𝑁 𝑖=1 ∑ 𝑚𝑖 𝑁 𝑖=1 формула ёрдамида аниқланадиган геометрик нуқта системанинг массалар маркази дейилади

Система динамикасини ўрганишда муҳим ахамиятга эга бўлган система нуқталари массаларининг ўққа, нуқтага ёки текисликкача бўлган масофалар квадратига кўпайтмаларининг йиғиндисига тенг бўлган динамик катталиклар аниқланади. Бу катталиклар система массаларининг ўққа, нуқта ёки текисликка нисбатан тақсимланишини ифодалайди ва мос равишда системанинг ўққа, нуқтага ёки текисликка нисбатан инерция моментлари дейилади

Системанинг О нуқтага (қутбга) нисбатан инерция моменти эса қуйидагича ёзилади: 𝐼𝑂 = 𝑘=1 ∑ 𝑁 𝑚𝑘(𝑥𝑘^2 + 𝑦𝑘^2 + 𝑧𝑘 ^2)

𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 + 𝐼𝑧 = 2𝐼𝑂,

𝐼(𝑥𝑦) + 𝐼(𝑥𝑧) + 𝐼(𝑦𝑧) = 𝐼𝑂,

𝐼𝑧 = 𝐼z ′ + 𝑀𝑑^2 Бу формула Гюйгенс- Штейнер теоремасини ифодалайди. Жисмнинг бирор ўққа нисбатан инерция моменти жисмнинг массалар марказидан ўтувчи ва мазкур ўққа параллел бўлган ўққа нисбатан инерция моменти билан жисм массасининг ўқлар орасидаги масофанинг квадратига купайтмасининг йиғиндисига тенг.