Kompakt to’plamlar va uning xossolari. Kompakt to’plamlar

Teorema-14 X- xausdorf fazo A X kompakt to’plam bo’lsa A yopiq to’plamdir.
_Isbot. A ning yopiq ekanligini ko’rsatish uchun X\A ning ochiq ekanligini ko’rsatamiz. Agar x X\A bo’lsa 11-teoremaga asosan shunday ochiq G to’plam mavjudki x G _{X\A munosabat bajariladi. Demak x nuqta X\A uchun ichki nuqta va x ning ixtiyoriy ekanligidan X\A ning ochiq to’plam ekanligi kelib chiqadi.}
Teorema-15 X=Rⁿ A X bo’lsa A ning kompakt to’plam bo’lishi uchun A ning yopiq va chegaralangan to’plam bo’lishi zarur va etarli.
Isbot. Zarurligi. Metric fazoda to’plam birorta shar ichida yotsa u chegaralangan to’plam deyiladi. A kompakt to’plam bo’lsa Rⁿ ning xausdorf fazo ekanligidan A ning yopiq to’plam ekanligi kelib chiqadi. (teorema-14) Endi A ni chegaralanganligini ko’rsataylik. Buning uchun birorta x A nuqtani olib markazi shu nuqtada bo’lgan {B_n(x)} sharlar oilasini qaraymiz, bu erda n=1,2,…. Bu sharlar oilasi A uchun ochiq qobiq bo’ladi va A kompakt bo’lganligi uchun bu oiladan chekli qobiq ajratish mumkin. Agar chekli qobiq B_n1(x₀), B_n2(x₀)….. B_nk(x₀) sharlardan iborat bo’lsa N bilan max {n_j}ni belgilaymiz. Bu yerda B_n(x) markazi x nuqtada radiusi n bo’lgan ochiq shar. Bu holda A B_n(x) ekanligidan A ning chegaralanganligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Teoremani yetarliligini isbotlash uchun Rⁿ da Q_r={x R:|x|Lemma1. [a,b] kompakt to’plamdir.
Isbot {U_α} oila [a,b ] segmentning ochiq qobig’I bo’lsin. Agar x [a,b] va [a,x] segment uchun chekli qobiq mavjud bo’lsa bunday x nuqtalar to’plamini A bilan belgilaymiz. Ravshanki A bo’sh emas, chunki a A Bundan tashqari birorta α₀ uchun a U_α0 bo’lsa a nuqta o’zining biror atrofi bilan U_α0 da yotadi. shuning uchun A to’plamga a nuqtadan boshqa nuqtalar ham tegishli. Demak, agar c=sup{x: x A } bo’lsa c>a ekanligi ravshan c=sup{x: x A } bo’lganligi uchun [a,c-ε] segment uchun chekli qobiq mavjud. Agar [a,c-ε] segmentning chekli qobig’iga c tegishli bo’lgan U_a1 to’plamni qo’shsak [a,c] uchun chekli qobiq hosil bo’ladi. demak c A endi c=b ekanligini isbotlaylik. Agar ca1 bajarilsin. Shunda [a.c] segmentning chekli qobig’I [a.c+ε] uchun ham chekli qobiq bo’ladi. bu esa c ning aniqlanishiga ziddir. Demak c=b lemma isbotlandi.
Lemma-2. Yopiq kub Q_r={x Rⁿ:|x|Isbot. Yopiq kub Q_r ni nta [-r,r] segmentning to’g’ri ko’paytmasi sifatida yozamiz. Shunda lemma-2 ikkita kompakt to’plamning to’g’ri ko’paytmasi kompakt to’plam ekanligidan kelib chiqadi. Bu faktni quyidagi teorema ko’rinishida yozib keyinchalik isbotlaymiz.