Kompakt to’plamlar va uning xossolari. Kompakt to’plamlar

Kompakt to’plamlar va uning xossolari.


Kompakt to’plamlar. (X, ) - topologik fazo, A X qism to’plam va birorta {A_α} ochiq to’plamlar oilasi berilgan bo’lsin. Berilgan oila uchun munosabat bajarilsa {A_α} oila A to’pllamning ochiq qobig’i deb ataladi.agar qobiq chekli sondagi to’plamlardan iborat bo’lsa u chekli qobiq deb ataladi.
Ta’rif. A to’plamning ixtiyoriy ochiq qobig’idan chekli qobiq ajratish mumkin bo’lsa A to’plam kompakt deb ataladi.
Tabiiyki bu ta’rifga agar A=X bo’lsa unda biz kompakt fazo ta’rifini olamiz. Faqat bu yerda {A_α} oila X uchun qobiq bo’lsa unda munosabat o’rniga =X tenglik yoziladi.
Teorema-12 X-kompakt fazo A X yopiq to’plam bo’lsa A-kompakt to’plamdir.
Isbot. {A_α} oila A to’pllamning ochiq qobig’i bo’lsin. A yopiq bo’lganligi uchun X\A ochiq to’plam va {A_α} {X\A} oila X uchun qobiq bo’ladi. X kompakt fazo bo’lganligi uchun {A_α} {X\A} oiladan X uchun chekli qobiq ajratish mumkin. Ajratilgan chekli qobiqqa tegishli qism to’plamlar F₁ ,F₂ , ….F_k bo’lsin. Agar {F_i}^k₁ oilada X\A to’plam bo’lmasa {F_i}oila {A_α} dan ajratilgan A ning chekli qobig’I bo’ladi. Agar {F_i}oilada X\A bo’lsa unda bu oiladan X\A ni chiqarib A uchun chekli qobiq hosil qilamiz. Demak A kompakt to’plamdir. Teorema isbotlandi.
Teorema-13 X- xausdorf fazo A X kompakt to’plam va x X\A bo’lsa shunday ochiq kesishmaydigan G₁ va G₂ to’plamlar mavjudki bo’ladi.
Isbot A ga tegishli ixtiyoriy u nuqtani olsak Xausdorf aksiomasiga ko’ra shunday ochiq kesishmaydigan G_x G_y to’plamlar mavjudki x G_x y G_y bo’ladi. { G_y :y A} oila A to’plam uchun ochiq qobiq bo’ladi va A kompakt bo’lganligi uchun bu oiladan A uchun chekli qobiq ajratish mumkin. Ajratilgan chekli qibiqqa tegishli to’plamlar G_y1, G_{y 2……} G_{y m} lar bo’lsin. Bu ochiq to’plamlar bilan kesishmaydigan x nuqtaning atroflari mos ravishda G_x(y₁) G_x(y₂) _…… G_x (y_m) to’plamlar bo’lsin. Agar bo’lsa ravshanki va G₁ G₂ munosabatlar bajariladi.