Компьютерное моделирование расчета пьезометрического напора потока подземных вод икрамов А. М., Полатов А. М., Жуманиёзов С. П

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСЧЕТА ПЬЕЗОМЕТРИЧЕСКОГО НАПОРА ПОТОКА ПОДЗЕМНЫХ ВОД
Икрамов А.М., Полатов А.М., Жуманиёзов С.П.
Национальный университет Узбекистана
Аннотация. Известно, что во многих стран мира приходится лишь небольшая часть земли, то есть территория, необходимая для флоры и фауны. То есть по мере увеличения количества воды в почве свойство почвы меняется и происходит засоления, что значительно снижает уровень плодородия почвы. Улучшение непригодных для использования земель возможно посредством повышения плодородие почвы на участках с высоким содержанием воды за счет поглощения, до определенной степени воды, с помощью специальных насосов. В статье разработаны вычислительные алгоритмы и программное обеспечение для решения задач, связанных с процессом расчета пьезометрического напора в каждой потенциальной линии потока подземных вод на основе метода конечных элементов и проанализированы результаты расчетов. Установлено, что при двухкратном увеличении мощностей насосов, значения пьезометрического напора в окрестностях месторасположения насосов уменьшается, соответственно на 27.3% и 26.5%.
Введение
В статье обсуждается решение задачи об идеальном безвихревом течение, в процессе которого могут быть обнаружены многие важные физические проблемы, такие как обтекание плотины, поверхности крыльев самолета и различных других конструкций. Идеальное безвихревое течение представляет собой некоторое приближение к реальному физическому процессу. При этом предполагается, что между жидкостью и обтекаемой поверхностью нет трения (идеальная жидкость) и вращательное движения частиц жидкости отсутствует (безвихревое течение) [1, 2]. В предположении безвихревого течения, поток воды в грунте также может быть изучен с достаточной точностью. Анализ течения грунтовых вод является важным аспектом в региональном планирование, поскольку водоснабжение большинства регионов полностью или частично связано с грунтовыми водами.
Постановка задачи. Рассматривается двумерный случай течения грунтовых вод. Дифференциальное уравнение в частных производных для ограниченного водоносного слоя с течением в горизонтальной плоскости xОy имеет вид:
, (1)
где
, – коэффициенты фильтрации [м³/(сут·м²) или м/сут];
– пьезометрическое напор, измеряемый в метрах от нижней границы водоносного слоя;
– потеря воды (м³/сут). Выкачивание воды соответствует отрицательной величине .
Граничные условия записываются следующим образом:
(2) и (или) . (3)
В этой формуле q представляет собой поток воды, движущийся из области через границу. Единица измерения этого количества просочившейся воды [м³/сут].
Приведенные выше уравнения идентичны уравнениям, которые использовались при рассмотрении переноса тепла, поэтому в данном случае применимы матрицы, полученные в [2]. Задача о безвихревом течении грунтовых вод упрощается тем фактом, что в формуле (3) не существует члена , которое описывает конвекцию.
Матрица конечных элементов и вектор столбцов определяются следующим образом:
(4)
и
, (5)
_где - потеря воды в точке [м³/сут]. Забор воды соответствует ее отрицательному значению.
Рассмотрим линейный треугольный элемент. Поскольку насос расположен во внутренней точке конечного элемента, то является функцией координат x и y. Используя единичные импульсные функции и , можно записать: (6)
Первый интеграл в (5) можно записать следующим образом:
(7)
Толщина элемента считается равной единице. Используя известные свойства импульсных функций, получим:
(8)
Соотношение (8) определяет, что если точечный (линейный) источник расположен внутри конечном элементе, значение распределяется по узлам пропорционально соответственно величинам и , которые вычисляются с использованием координат точечного источника. Поскольку , то в любой точке конечного элемента получаются значения меньше, чем .

Рис.1.Местная система координат; указаны размеры 19-го элемента.

Чтобы вычислить значения функций в конечном элементе (рис. 1), сначала нужно вычислить значения: и :

По этим результатам вычисляются функции формы :
.
Площадь треугольника: (9)
Используя вышеизложенное, для конечного элемента (e) определяется матрица и вектор :
. (10)
(11)
В первом слагаемом (11) предполагается, что выкачивание или потеря воды постоянны по конечному элементу. При изучении водоносного слоя обычно рассматриваются площади больших размеров в [км²], что позволяет локализовать насос в узле и интерпретировать его как линейный источник. Второе слагаемое в (11) связано с просачиванием воды в конечный элемент или из него. Просачивание может наблюдаться вдоль любой из сторон элемента, поэтому существует три поверхностных интегралов, каждый из которых рассчитывается для отдельной сторон треугольного элемента. Форма записи, выраженная в уравнении (11), соответствует стороне элемента длиной между узлами i и j. Два других соотношения - аналогичны.
Во многих задачах о течении грунтовых вод граница водоносного слоя предполагается водонепроницаемой. Это обстоятельство влияет на решение таким же образом, как и наличие теплоизолированной границы в задаче о переносе тепла. В случае если для решения задачи используется метод конечных элементов, то здесь специального рассмотрения не требуется, поскольку условие непроницаемости границы входит в функционал, который минимизируется для получения окончательного решения системы уравнений.