Компьютерное моделирование расчета пьезометрического напора потока подземных вод икрамов А. М., Полатов А. М., Жуманиёзов С. П

Задача. На рис. 2 показан небольшой региональный водоносный слой прямоугольной формы [2]. Он имеет стороны размером 1500 м и 3000 м, ограниченный вдоль длинных сторон водонепроницаемым материалом. Проникновение воды в область с левой и правой границ достаточно велико, чтобы поддерживать вдоль этих границ постоянное значение пьезометрическое напора величиной 200 м. Вода из реки по длине потока просачивается в водоносный слой со скоростью 0,24 м³/сут. Кроме того, имеется два насоса, которые расположены в точках координат (2000 м, 830 м) и (1100 м, 600 м), откуда из водоносного слоя выкачивается вода.

Рис 2. Схема водоносного слоя	Рис 3. Дискретная модель

Для решения используются следующие параметры: коэффициенты фильтрации: и , мощность насосов и .

Предполагая, что течение воды установившееся, требуется определить линии постоянного потенциала пьезометрического напора. Двумерная задача о течении подземных вод решается методом конечных элементов.
Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо вычислить два узловых величин: узловые значения количества в просачивающейся воды из реки и узловые значения для количества воды, выкачанной насосами. Длина реки l = 1802,8 м. Объем просачивающийся воды q = 432,67 м³/сут. Поскольку расстояние между узлами на реке одинаковое, величина просачивающейся воды между соседними узлами составляет q = -108,17 м³/сут. Насосы считаются точечным источником. Количество воды, поглощаемой насосом, равномерно распределяется по узлам конечного элемента.
Первый насос (P₁), расположен в элементе 19, в точке с координатами (2000 м, 830 м), ограниченными узлами 18, 13 и 12 (рис 1). Функции формы для локальной координаты первого насоса (125 м, 80 м): N₁₈ = 0,596, N₁₃ = 0,191, N₁₂ = 0,213.
Значению сил в узловой точке, соответствует умножение значения функций формы на скорость выкачивания воды:
Q₁₈= - 715,2 м³/сут, Q₁₃= - 229,2 м³/сут, Q₁₂ = - 255,6 м³/сут.
Отрицательные значения были выбраны, так как вода выкачивается из водоносного слоя.
Насосу (P₂), расположенному в элементе 45, соответствуют следующие узловые значения: Q₃₄= -549,6 м³/сут, Q₂₉= -410,4 м³/сут, Q₂₈= -1440 м³/сут.
Узловые значения, относящиеся к количеству воды, вытекающей из реки и откачиваемой, записываются непосредственно в вектор-столбец {F}. Эти и только эти значения являются ненулевыми значениями {F}. Чтобы учесть граничные значения в узлах с 1 по 5 и с 41 по 45, систему разрешающих уравнений необходимо преобразовать.
Решение преобразованной системы уравнений приводит к узловым значениям пьезометрического напора, показанным на рис. 4.
Поскольку насосы не были расположены в узлах, для пьезометрического давление получились значения, которые не отражают действительного положения в точке расположения насосов. Анализ результатов вокруг точки P₂ показывает, что пьезометрический напор имеет наименьшее значение в узле 28, то есть в узле, на который приходится наибольшая порция воды, вытекающей из второго насоса. Наименьшее значение пьезометрического напора находится в точке расположения насоса.



Рис 4. Значения пьезометрического напора в региональном водоносном слое



Рис 5. Изолинии пьезометрического напора

На рис. 5 приведены изолинии значений пьезометрического напора, где наглядно прослеживается распределение минимальных значений, которые концентрируются в окрестности месторасположения насосов.

В табл.1 приводятся значения пьезометрического напора в окрестности точек установки насосов, полученные посредством проведения вычислительного эксперимента. Сопоставление результатов полученных при двухкратном размельчении сетки конечных элементов, с исходными результатами приведенными в [2], указывает на незначительное влияние размеров сетки на точность решения задачи.

Табл.1. Проверка точности решения при размельчении сетки

Число узлов	Число конечных элементов	Значение пьезометрического напора в точках
		(1875 м, 750 м)	(1125 м, 750 м)
45	64	167.88	159.12
153	256	168.09	160.44

Рассматривается случай, когда насосы меняются местами. Распределение изолинии значений пьезометрического напора, приводится на рис. 6. В обоих случаях минимальное значение концентрируется в окрестности насоса с максимальной мощностью. Численные значения пьезометрического напора (табл.2, строки 1 и 2).

Рис.6. Изолинии значений пьезометрического напора

Для наглядности, на рис. 7 распределение уровни пьезометрического напора в заданной территории приведены в цветном изображении. Темно-красный цвет соответствует максимальному - 200 м, а светло-красный цвет минимальному значению - 159 м.

Рис.7. Уровни значений пьезометрического напора

Табл.2. Значения пьезометрического напора

Мощность насосов [м^3/сут]	Значение пьезометрического напора в точках
	(1875 м, 750 м)	(1125 м, 750 м)
P1=1200, P2=2400	168.09	160.44
P1=2400, P2=1200	158.72	170.18
P1=4800, P2=2400	115.41	142.09

Также, приводятся численные результаты пьезометрического напора при увеличении мощностей установленных насосов (табл. 2, строки 2 и 3). Установлено, что при двухкратном увеличении мощностей обоих насосов, значения пьезометрического напора в окрестностях месторасположения насосов уменьшается, соответственно на 27.3% и 26.5%.