Kompleks sanlar. Kompleks sanlardıń algebralıq hám trigonometriyalıq forması. Kompleks sandı qosıw hám alıw, kóbeytiw hám bóliw. Muavr formulası. Reje: Kirisiw

Kompleks sanlardı kóbeytiw
Tariyp. A + bi hám a' + b'i kompleks sanların payda etiw Kompleks san dep ataladı. (aa' — bb') + (ab' + ba') i.

Túsindirme. Ámelde, jumıs formulasınan paydalanıwdıń hájeti joq. Siz bul nomerlerdi ekilik atamalar retinde ko'paytirib, keyin i ni ornatıwıńız múmkin2 = -1.

1-mısal (1 — 2 i) (3 + 2 i) = 3 — 6 i + 2 i — 4 i 2 = 3 — 6 i + 2 i + 4 = 7-4 i.
2-mısal (a + bi) (a — bi) = a2 + b 2.
2-mısal sonı kórsetedi, konjugat kompleks sanlardıń kóbeymesi haqıyqıy, sonıń menen birge oń son bolıp tabıladı.
Kompleks sanlardı kóbeytiw ushın jılısıwlar hám kombinatsiyalar nızamları, sonıń menen birge, qosıwǵa salıstırǵanda kóbeytiw ushın bólistiriw nızamı da sáykes keledi.
Kompleks sanlardı ajıratıw
Haqıyqıy nomerlerdi ajıratıw tariypiga muwapıq tómendegi tariyp belgilenedi.
Tariyp. A + bi kompleks sanın a' + b'i kompleks sanına bolıw x + yi sanın tabıwdı ańlatadı, bul bóliniwshine ko'paytirilib, bóliwshin beredi.
Arnawlı bir bóliniw qaǵıydası bólekan kasrni jazıw jáne bul kasrniń numeratori hám bólimin bólim menen baylanıslı bolǵan sanǵa kóbeytiw arqalı alınadı : (a + bi): (c + di).

Mısal 1.jeke tabıń (7-4 i): (3 + 2 i).

(7 — 4 i) / (3 + 2 i) kasrni belgilep, onı 3 + 2 i menen baylanıslı bolǵan 3 — 2 i nomerine keńeytiremiz. onı alaylıq : ((7 — 4 i) (3 — 2 i)) / ((3 + 2 i) (3 — 2 i))) = (13 — 26 i) / 13 = 1-2 i.
Aldınǵı bandniń 1-mısalı sınaqtı kórsetedi.
Mısal 2. (-2 +5 i) / (-3 -4 i) = ((-2 + 5 i) (-3 — 4 i)) / ((-3 — 4 i) (-3 + 4 i)) = (-14 -23 i) /25 = -0. 56 — 0. 92 i.
Oń tárep haqıyqattan da jeke ekenligin tastıyıqlaw ushın onı a' + b'ga ko'paytiring. Biz + bi ni alamız.
Kompleks ózgeriwshiler menen teńlemelerdi tarqatıp alıw
Birinshiden, eń ápiwayı kvadrat teńlemeni kórip shıǵıń z2 \ u003 d a, bul erda a — berilgen nomer, z — belgisiz.
Haqıyqıy sanlar kompleksinde bul teńleme:
onıń túbiri bar z = 0, eger a = 0 bolsa.
eki haqıyqıy túbirge iye z1, 2=, eger a>0 bolsa ;
eger a< 0 bolsa, onıń haqıyqıy túbirleri joq.
Kóp Kompleks sanlar ushın bul teńleme mudamı túbirge iye.
Ulıwma halda, Z2 \ u003 d a teńlemesi qollanıladı, bul erda a < 0 eki Kompleks túbirge iye: Z1. 2 \ u003 d i.
I2 \ u003 d -1 teńliginde keri sanlardıń kvadrat túbirleri tómendegishe jazıladı : \ u003 d i, \ u003 d 2 i, \ u003 d i.
Kompleks san trigonometrik formada berilsin:

Biz onı kvadratqa aylantıramız jáne onı ózimiz ko'paytiramiz:

Keyin taǵı bir ret ko'paytirib, kubga kóteremiz:

Keyin ne bolıwın shama qılıw ańsat — eksponentatsiya waqtında. Buǵan Muavr formulası dep ataladı. Muavr Formulası. Hár qanday Kompleks sannı qurıwda
bir dáreje ishinde biz alamız

Esap -kitaplardı hár o'nda tezlestiretuǵın ápiwayı formula! Aytqansha : bul formula tekǵana tábiy, bálki hár qanday jaǵdayda da isleydi. Biraq bul haqqında keyin. Endi mısallar : esaplaw :

Birinshi nomerdi trigonometrik formada usınıs etemiz:

Muavr formulası menen:

Aqırǵı qádem, biz sinus hám kosinus shastotasınan paydalanıp, argumentni bır jola 28π ga kemeytirdik. Olar hár qıylı ózgerislerde tómendegi wazıypanı testler hám imtixanlarda beriwdi jaqsı kórediler: esaplaw :

Endi biz ekinshi nomerdi Kompleks formada jazamız :

Muavr formulası menen:



Juwmaq
Kompleks nomerler " ótirik" hám jaramsız bolıwına qaramay júdá tez-tez isletiledi. Olar tekǵana matematikada, bálki fizika hám ximiya sıyaqlı pánlerde de zárúrli rol oynaydı. Házirgi waqıtta kompleks nomerler elektromexanikalıq, kompyuter hám kosmik tarawlarda aktiv qollanılıp atır.
Sol sebepli biz Kompleks sanlar, olardıń qásiyetleri hám qásiyetleri haqqındaǵı bilimlerimizni keńeytiwimiz kerek. Kompleks sanlar doktrinasiniń tiykarǵı elementleri men bul dóretpede kórip shiqaman.
Ádebiyatlar dizimi
Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. v. Sidorov, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin. Algebra boyınsha 8-klass ushın sabaqlıq -M.: tálim, 1996.
I. S. Petrakov. 8-10 -klaslardaǵı matematikalıq to'garaklar — M.: tálim, 1985-p. 50-52.
A. P. Savin. Jas matematikalıqtıń entsiklopedik entsiklopediyası.- M.: Pedagogika, 1983 jıl -S. Petrakov. 143-147.