Комплекс сон ва унинг алгебраик шакли

2.3. Алгебранинг асосий торемаси
Айтайлик, – даражали кўпҳад берилган бўлиб, унинг коэффициентлари ҳақиқий сонлардан иборат бўлсин ва қиймат тенгламанинг илдизи бўлсин. Бу ҳолда, Безу теоремасига асосан, ушбу тенглама ҳосил бўлади, бунда - -1 даражали кўпҳаддир. Шунинг учун тенгламанинг бошқа илдизларини топиш учун тенгламани ечиш етарлидир, бунда тенглама чап томонининг даражаси нинг даражасидан бир бирликка кам.
Фараз қиламиз илдиз тенгламанинг илдизи бўлсин. Яна Безу теоремасини қўллаб ни ҳосил қиламиз, бунда кўпҳаднинг даражаси га тенг. Бундан эса, тенгламанинг бошқа илдизларини топиш учун тенгламани ечиш етарлидир. Безу теоремасини бошқатдан қўллаб ҳосил қиламиз, бунда - -даражали кўпҳад, тенгламанинг бошқа ечимларини аниқлаш учун тенгламани ҳосил қиламиз. Шу каби кетма-кет равишда кўпҳаднинг барча илдизларини, тенгламадан топиш мумкин.
Теорема. кўпҳаднинг илдизлари ҳақиқий ва ҳар-хил бўлса, у ҳолда кўпҳад кўпайтмага қолдиқсиз бўлинади.
Теорема. – даражали кўпҳад, тадан кўп бўлмаган ҳар-хил ҳақиқий илдизларга эга бўлади.
Теорема (алгебранинг асосий теоремаси). – даражали кўпҳад, ҳеч бўлмаганда битта комплекс илдизга эга.
Бу теоремадан кўринадики, коэффициентлари ҳақиқий сонлардан иборат бўлган кўпҳад ҳеч бўлмаганда битта ҳақиқий илдизга эга ёки комплекс илдизга эга .
Теорема. Агар комплекс сон кўпҳаднинг илдизи, яъни бўлса, у ҳолда комплекс сон ҳам кўпҳаднинг илдизи бўлади.
Мисол. кўпҳад берилган. кўпҳаднинг га қолдиқсиз бўлинишини исботланг.
Ечиш. Аввало z=i ни, кўпҳаднинг илдизи эканлигини кўрсатамиз. Ҳақиқатан, .
У ҳолда юқоридаги теоремадан z=-i ҳам, кўпҳаднинг илдизи бўлади. Бундан эса келиб чиқади. Бундан эса кўпҳад га қолдиқсиз бўлинар экан.
Теорема (Умумлашган Виет теоремаси). Агар лар алгебраик тенгламанинг илдизлари бўлса, у ҳолда ушбу тенглик бажарилади

Теореманинг тескариси ҳам ўринли, яъни агар лар системани қаноатлантирса, у ҳолда улар берилган алгебраик тенгламанинг илдизи бўлади.
Мисол. тенгламанинг илдизлари йиғиндисини топинг
Ечиш. Умумлашган Виет теоремасига асосан қуйидагини ҳосил қиламиз
.
Мисол. тенгламанинг илдизлари кўпайтмасини топинг.
Ечиш. Умумлашган Виет теоремасига асосан қуйидагини ҳосил қиламиз
.