Комплекс сон ва унинг алгебраик шакли

Комплекс сонлар
 

1. 
   Комплекс сон ва унинг алгебраик шакли
   
2. 
   Комплекс соннинг тригонометрик шакли ваМуавр формуласи
   
3. 
   Алгебранинг асосий торемаси
   

Баъзи квадрат тенгламаларни ечаётганимизда, сонни квадрат илдиздан чиқариш ёки манфий сондан жуфт даражали илдиз чиқариш талаб этилади. Ҳақиқий сонлар тўпламида бу амални бажариш мумкин эмас.
Шунинг учун янги, кенгроқ имкониятга эга бўлган сонлар тўпламини киритиш зарурияти келиб чиқади. Бу тўплам эса, комплекс сонлар тўпламидир. Комплекс сонлар тўпламида, ихтиёрий квадрат тенгламанинг илдизи мавжуд.
Комплекс сонлар, фаннинг жуда кўп йўналишларида жумладан, физикада, электротехникада, гидро- ва аэродинамикада, эластиклик назарияси ва бошқа кўп соҳаларда қўлланилади.
Таъриф. Ушбу ифодага , комплекс сон дейилади. Бунда a ва b – ҳақиқий сонлар, i – мавҳум бирлик, яъни .
комплекс сонда, a сон абсцисса, b – ордината дейилади. 
Бунда a сон комплекс соннинг ҳақиқий қисми дейилади ва (франц. reele - ҳақиқий) каби белгиланади, b сон эса комплекс соннинг мавҳум қисми ва (франц. imaginaire-мавҳум) каби белгиланади, яъни , .
Комплекс сонлар тўпламини С билан белгилаймиз.
ифода комплекс соннинг алгебраик шакли дейилади.
Таъриф. Иккита комплекс сон ва тенг дейилади, агар уларнинг ҳақиқий ва мавҳум қисмлари бир бирига тенг бўлса, яъни , .
Комплекс сонларни каби белгилаймиз.
Таъриф. ва комплекс сонларнинг йиғиндиси (айирмаси) деб, комплекс сонга айтилади. 
Демак, комплекс сонларни қўшганда (айирганда), уларнинг ҳақиқий ва мавҳум қисмлари алоҳида қўшилар (айирилар) экан.
Таъриф. ва  комплекс сонларнинг кўпайтмаси, ушбу кўринишдаги комплекс сондан иборат.  
Бу таъриф ушбу иккита тасдиқдан келиб чиқади:
1) ва комплекс сонларнинг кўпайтмаси, алгебраик икки ҳадларни кўпайтмаси шаклида бажарилади,
2) i мавҳум бирлик i ² = –1 хоссага эга.
Таъриф. ва комплекс сонлар, бир-биридан фақат мавҳум қисмларидаги ишоралари билан фарқ қилса, бу комплекс сонлар қўшма комплекс сонлар дейилади.
Қўшма комплекс сонларнинг йиғиндиси ва кўпайтмаси ҳақиқий сонлардан иборат, ҳақиқатан
.
.
Таъриф. комплекс сонни комплекс сонга нисбати деб шундай комплекс сонга айтиладики, бу сонни комплекс сонга кўпайтирилганда комплекс сон ҳосил бўлади. Бунда, комплекс соннинг нолдан фарқли эканлиги талаб этилади.
Мисол.  ва комплекс сонлар берилган. ларни топинг.
Ечиш. .
.
.
.