Комплекс сон ва унинг алгебраик шакли

2.2. Комплекс соннинг тригонометрик шакли. Муавр формуласи
Комплекс соннинг геометрик тасвири. Сонлар ўқида ҳақиқий сонлар нуқталар билан тасвирланади:

Бунда А нуқта -3 сонга, В нуқта 2 сонга, О нуқта 0 сонга мос қўйилади. Бундан фарқли комплекс сонлар эса, текисликдаги координаталар системасида, нуқталар орқали тасвирланади. У ҳолда комплекс сон абсциссаси а ва ординатаси b бўлган Р нуқта орқали тасвирланади. Бу координаталар системаси комплекс сонлар текислиги дейилади.

Комплекс соннинг модули деб, комплекс сонлар текислигидаги OP векторнинг узунлигига айтилади. Комплекс соннинг модули r = | a+ bi | каби белгиланади ва у қуйидагича аниқланади:
. (1)
  Қўшма комплекс сонлар бир хил модулга эга.
Комплекс соннинг аргументи – бу комплекс соннинг тасвиридан иборат бўлган OP векторнинг OX ўқи илан ташкил қилган бурчакдир. Бундан эса, . 
Комплекс соннинг аргументини аниқлаш. Агар аргументни ҳисоблаш соат стрелкасига тескари йўналишда бўлса, мусбат, агар соат стрелкаси йўналишида бўлса, манфий аниқланган бўлади.
Аргументни ҳисоблашда бўлиши талаб этилади. Фиксирланган учун аргумент бир қийматли аниқланмайди, яъни агар соннинг аргументи бўлса, у ҳолда бурчаклар ҳам, шу соннинг аргументи бўлади. Шунинг учун, ҳар бир сон учун, чексиз кўп аргументлар тўплами мавжуд бўлиб, улардан ҳар иккитаси бир биридан га фарқ қилади.
Тригонометрик функцияларнинг таърифидан, агар бўлса, у ҳолда қуйидаги тенгликлар ўринлидир
. (2)
Тескари талаб ҳам ўринлидир, яъни агар (2) тенгликнинг иккаласи ҳам бажарилса, у ҳолда . Шунинг учун, аргументнинг барча қийматлари (2) тенгламалар системасини биргаликдаги ечимидан ҳосил бўлади. Бунда комплекс соннинг геометрик тасвиридан фойдаланиб, нуқтанинг қайси чоракда ётишини аниқлаш керак. Шуни қайд этиш керакки, нуқтанинг қайси чоракда ётишини аниқлашда (2) ифоданинг ҳар иккаласидан ҳам (ёки комплекс соннинг геометрик тасвиридан) фойдаланилади, сўнгра аргументни (2) тенгламалар системасининг биттасидан фойдаланиб топиш мумкин.
Мисол. комплекс соннинг аргументини топинг.
Ечиш. Бунда , у ҳолда нуқта IV чоракда ётар экан. Шунинг учун, (2) тенгламалар системасининг биттасидан фойдаланиб, IV чоракда ётадиган бурчакни аниқлашимиз мумкин.
.
Мисол. комплекс соннинг аргументини топинг.
Ечиш. нуқта III чоракда ётади. Шунинг учун тенгламанинг шундай ечимини аниқлаш керакки, у III чоракда ётсин. Бундан қуйидагини ҳосил қиламиз
.
Комплекс соннинг тригонометрик шакли. Абсцисси a ва ординатаси b бўлган  комплекс сонни, унинг r  модули ва аргументи бўйича ифодалаш мумкин:

У ҳолда
.
Бу ифода комплекс соннинг тригонометрик шаклидир.
Тригонометрик шаклда берилган комплекс сонлар устида амаллар.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   . (3)
   

Бунда k - бутун сон. z комплекс сондан n-даражали илдиз чиқарилганда, унинг n та ҳар хил қийматларини ҳосил қилиш учун, k га кетма-кет n та ҳар хил қиймат берилади, яъни k =0, 1, 2,…, n –1.
Қуйидаги формула

француз математиги Муавр номи билан, Муавр формуласи дейилади.
Демак, z комплекс сондан n-даражали илдиз, n та ҳар хил қийматлардан иборат бўлар экан.
Нолдан фарқли, ҳақиқий сондан n-даражали илдиз ҳам, n та ҳар хил қийматлар қабул қилади, яъни ҳақиқий сон комплекс соннинг хусусий ҳоли бўлиб, у ҳам тригонометрик шаклда ифодаланиши мумкин:
агар , у ҳолда ;
агар , у ҳолда .
Мисол. ни топинг.
Ечиш.
.
Мисол. ҳамма қийматларини топинг.
Ечиш. Тригонометрик шаклга асосан , бундан эса .
(3) формуладан қуйидагини ҳосил қиламиз:
.
k га кетма-кет 0,1,2,3 қийматларни бериб, ифоданинг тўртта қийматини топамиз. Бу қийматлар қуйидагича бўлади:
k=0 да

k=1 да

k=2 да

k=3 да .

Мисол. Комплекс сонни алгебраик шаклда ёзинг.
Ечиш. Комплекс соннинг модули га тенг, аргументи эса га тенг. Комплекс сонни бутун даражага кўтариш формуласидан фойдаланиб, ушбу ифодани ҳосил қиламиз .
Комплекс соннинг тригонометрик шаклини кўринишдаги тенгламаларни ечишда ҳам қўллаш мумкин, бунда берилган комплекс сон, эса натурал сон.
Мисол. тенгламанинг барча ечимларини топинг.
Ечиш. сонининг тригонометрик шакли: . Пусть . У ҳолда, тенглама қуйидагича бўлади
.
Бундан қуйидагини ҳосил қиламиз , яъни . Шунинг учун, тенгламанинг барча ечимлари, қуйидаги кўринишдан топилади .
Кўриниб турибдики, нинг барча жуфт қийматларида, бу формула ушбу комплекс сонни беради
,
нинг барча тоқ қийматларида эса, қуйидаги комплекс сондан иборат
.
Демак, тенглама иккита ечимга эга экан:
.
Мисол. тенгламанинг барча ечимларини топинг.
Ечиш. 1 сонининг тригонометрик шакли: . (3) формуладан
.
k га 0, 1, 2 қийматлар бериб учта ечимни ҳосил қиламиз
.
Қуйидагиларга асосан
,
Бундан қуйидаги ечимларни ҳосил қиламиз
.


Комплекс кўрсаткичли комплекс функция. Фараз қилайлик . Агар х ва у- ҳақиқий ўзгарувчилар бўлса, У ҳолда комплекс ўзгарувчи бўлади. комплекс ўзгарувчининг ҳар бир қийматига, Оху текисликда (комплекс ўзгарувчининг текислиги) бирор аниқ нуқта мос келади.
Таъриф. комплекс ўзгарувчининг ҳар бир қийматига, комплекс қийматлар соҳасидан бошқа комплекс миқдорнинг бирор қиймати мос келса, у ҳолда функция, комплекс ўзгарувчининг функцияси бўлади. Комплекс аргументнинг функцияси каби белгиланади.
Бунда биз комплекс ўзгарувчининг функцияларидан бири – кўрсаткичли функцияни кўриб ўтамиз
.
функциянинг комплекс қиймати қуйидагича аниқланади:
. (4)
яъни .
Мисоллар:
.
.
Эйлер формуласи. Агар (4) да бўлса, у ҳолда қуйидагини ҳосил қиламиз:
.
Бу Эйлер формуласи бўлиб, мавҳум кўрсаткичли экспонентани, кўрсаткичли функциянинг тригонометрик функциялари орқали ифодалайди.
(4) формулада у ни –у билан алмаштириб, қуйидагини ҳосил қиламиз
. (5)
(4) ва (5) тенгликлардан ва ни ҳосил қиламиз:

Охирги формулалардан, ва ларнинг даражаларини, уларнинг кўпайтмаси шаклида ёзишда қўлланилади.
Мисол.
.
Комплекс соннинг кўрсаткичли шакли. Комплекс сонни тригонометрик шаклда ёзамиз:
,
бунда - комплекс соннинг модули, - комплекс соннинг аргументи.
Эйлер формуласига асосан
.
Бундан эса, ихтиёрий комплекс сонни кўрсаткичли шаклда ифодалаш мумкин экан:
.
Мисол. сонларни кўрсаткичли шаклда ифодаланг.
Ечиш. ,
,
,
.