Kompleks tekislikda chiziqlar

Nuqtalarni belgilash uchun bosing
TekshirishIzoh
Haqiqiy sonlar toʻplamini kengaytirish
Pifagor davrida irratsional sonlarning mavjudligi hayratlanarli kashfiyot boʻlgan! Ular 22​square root of, 2, end square root kabi sonlar hech qanday oʻnlik kasrga aniq teng emasligiga ajablangan.
Haqiqiy sonlar toʻplami ikkilanishni toʻgʻrilashga yordam beradi. Nega? Sababi shuki, 22​square root of, 2, end square root soni haqiqiy sonlar toʻgʻri chizigʻida maxsus oʻringa ega boʻlib, u haqiqatan haqiqiy son ekanini koʻrsatadi. (Agar siz birlik kvadrat diagonalini olib, uchini 000 ga qoʻyadigan boʻlsangiz, boshqa uchi 22​square root of, 2, end square root nuqtaga toʻgʻri keladi)
Shunga oʻxshab, har bir kompleks son haqiqatan ham mavjud, chunki u kompleks sonlar tekislikda aniq joylashuvga ega! Ehtimol, ushbu sonlarni tasavvur qilish orqali ularni "mavhum" deb atashimiz notoʻgʻri boʻlishi mumkin.
Kompleks sonlar mavjud va ular matematikaning muhim qismidir. Haqiqiy sonlar toʻgʻri chizigʻi kompleks sonlar tekisligida haqiqiy oʻqdir, ammo ushbu yagona toʻgʻri chiziq ortida koʻp narsa yotadi!
Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Kompleks sonning trigonometric va ko’rsatkichli shakli, geometrik tasviri. Modul va argument haqidagi teorema. Muavr formulasi va n -darajali ildiz chiqarish formulasi Kompleks son tushunchasini elementar algebra kursida paydo bo’lishi ko’proq 2 x  1 0 tenglama bilan bog’liqdir. Eng avvalo bu tenglamani qanoatlantiruvchi haqiqiy son mavjud emasligi aniqlanadi. U holda yangi “mavhum” son i  1 kiritiladi va berilgan tenglama i yechimga ega bo’ladi. Bundan keyin x iy  “kompleks son” x haqiqiy va iy “mavhum” sonlarning yig’indisi sifatidagi bu yangi son ustidagi amallarni xuddi haqiqiy sonlar ustida bajariladigan amallar singari bajarib, natijada 2 i ni 1 bilan almashtirish kerak bo’ladi. Yangi son kiritgandan so’ng 2 x px q    0 ko’rinishdagi har qanday kvadrat tenglama, umuman, ixtiyoriy kompleks koeffisirntli 1 1 1 0 n n n n x p x p x p       K  ko’rinishdagi tenglamalar yechimini topish imkoni bo’ladi. 1.1. Kompleks sonlar va ular ustida amallar 1.1-ta’rif. x va у haqiqiy sonlarning ( , ) х у juftiga kompleks son deb aytiladi, agar tenglik tushunchasi, qo’shish va ko’paytirish amallari quyidagicha aniqlangan: 1. 1 1 ( , ) х у va 2 2 ( , ) х у ikkita kompleks son teng deyiladi, agar 1 2 х х  va 1 2 у у  bo’lganda; 5 2. Ikkita 1 1 ( , ) х у va 2 2 ( , ) х у kompleks sonlarning yig’indisi deb 1 2 1 2 ( , ) х х у у   kompleks songa. 3. Ikkita 1 1 ( , ) х у va 2 2 ( , ) х у kompleks sonlarning ko’paytmasi deb 1 2 1 2 1 2 2 1 ( , ) х х у у х у х у   kompleks songa teng bo’lsa . Kompleks sonlar ustida tenglik, yig’indi, ko’paytma va boshqa amallarni belgilashda haqiqiy sonlar uchun qo’llaniladigan belgilar ishlatiladi. Shuning uchun kompleks sonni ta’rifiga ko’ra 1 1 2 2 ( , ) ( , ) х у х у  tenglik faqat va faqat 1 2 х х  va 1 2 у у  (1.1) bo’lgandagina o’rinli; ikkita kompleks sonning yig’indisi va ko’paytmasi mos holda 1 1 ( , ) х у + 2 2 ( , ) х у = 1 2 1 2 ( , ) х х у у   , (1.2) 1 1 2 2 ( , )( , ) х у х у  1 2 1 2 1 2 2 1 ( , ) х х у у х у х у   (1.3) kabi kiritiladi. Xususiy holda (1.2), (1.3) formulalardan ( ,0) х ko’rinishdagi kompleks son ustidagi amal х haqiqiy son ustidagi amal bilan mos tushishini ko’rsatuvchi 1 2 1 2 ( ,0) ( ,0) ( ,0), х х х х    1 2 1 2 ( ,0)( ,0) ( ,0) х х х х  munosabat kelib chiqadi. Shuning uchun ( , 0) х ko’rinishdagi kompleks son ( ,0) х = х haqiqiy son bilan tenglashtiriladi. (0,1) kompleks son mavhum birlik deyiladi va i bilan belgilanadi, ya’ni i  (0,1). (1.3) formula yordamida 2 i i i   ko’paytmani hisoblaymiz. 2 i i i        (0,1)(0,1) ( 1,0) 1. 6 (1.2), (1.3) formulalardan (0, ) (0,1)( ,0) , у у iу   ( , ) ( ,0) (0, ) х у х у х iу     tengliklar ham kelib chiqadi. Shunday qilib, har bir ( , ) х у kompleks sonni х iу  ko’rinishda tasvirlash mumkin. х iу  ko’rinishdagi yozuvga kompleks sonning algebraik shakli deyiladi. iу ko’rinishdagi kompleks songa sof mavhum deyiladi. Xususiy holda, yagona 0 soni ya’ni (0,0) kompleks son bir vaqtda ham haqiqiy, ham sof mavhumdir. х iy  kompleks sonni bitta z harfi bilan belgilash qabul qilingan, ya’ni z x iy   . х songa z x iy   kompleks sonning haqiqiy qismi, у songa esa mavhum qismi deyiladi va х x iy z    Re( ) Re , y x iy z    Im( ) Im ko’rinishda belgilanadi. Kompleks sonning algebraik shakli yordamida 1 1 1 z x iy   , 2 2 2 z x iy   kompleks sonlarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin 1 2 1 2 1 2 z z x x i y y      ( ) ( ), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z x x ix y iy x i iy y       . Endi 2 i  1 ni hisobga olgan holda 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( )( ) ( ) ( ) x iy x iy x x y y i x y x y       tenglikni, ya’ni (1.3) formula hosil qilindi. Masalan, (1 4 ) ( 2 ) 1 3        i i i ; (2 6 )(1 ) 8 4     i i i . Demak, kompleks sonlarni ko’paytirganda haqiqiy sonlarni ko’paytirish kabi ko’paytirib hosil bo’lgan ifodada 2 i  1 almashtirish kifoyadir. 7 x iy  sonni z x iy   kompleks songa qo’shma kompleks son deyiladi va z ko’rinishda belgilanadi, ya’ni: z x iy x iy     . (1.4) Masalan, i i   va 3 2 3 2    i i . Ixtiyoriy z kompleks son uchun ( )z z  o’rinlidir. Kompleks sonlarning tengligidan z z  tenglik faqat z haqiqiy son bo’lgandagina bajariladi. Ushbu 2 1 2 1 ( ) z z z z    tenglikni o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Buning uchun 1 1 1 z x iy   , 2 2 2 z x iy   kompleks sonlarga qo’shma kompleks sonlar 1 1 1 z x iy   , 2 2 2 z x iy   bo’ladi. Ikkita kompleks sonlarning yig’indisiga 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z x iy x iy x x i y y          ( ) ( ) ( ) ( ) qo’shma kompleks son: 1 2 1 2 1 2 z z x x i y y      ( ) ( ) bo’ladi. Oxirgi tenglikning o’ng tomonidan: 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x i y y x iy x iy z z          . Bu talab qilingan tenglikni o’rinli bo’lishini ko’rsatadi. Endi 2 1 2 1 ( ) z z z z    tenglikni o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. 1 1 1 z x iy   , 2 2 2 z x iy   kompleks sonlarni ko’paytirish amaliga ko’ra 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z x iy x iy x x y y i x y y x          ( ) ( ) ( ) ( ). Unda 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z x x y y i x y y x      ( ) ( ) bo’ladi. Oxirgi tenglikning o’ng tomonidan quyidagini hosil qilamiz:

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Shabat B.V. Vvedeniye v kompleksngy analiz. T. 1, M. Nauka, 1985. 2. Xudayberganov G., Vorisov A.K., Mansurov X.T., Kompleksanaliz. T. Universitet 1998. -200 b. 3. Sadullayev A., Xudoyberganov G., Mansurov X., Vorisov A., Tuychiyev T. Matematik analizdan misol va masalalar to’plami ( Kompleks analiz) 3 qism «O’zbekiston » 2000. 4. Evgrafov M.A. , Sidorov Yu. V. , Fedoryuk M. V. , Shabunin M.I. , Bejanov K. A. Sbornik zadach po teorii analiticheskix funksiy. M. “Nauka ” 1972. 5. Volkovskiy A. N. , Luns G. A. , Aramanovich I. G. Sbornik zadach po teorii funksiy kompleksnogo peremennogo . M. «Nauka» 1975. 6. James Ward Bown, Ruel V.Churchill Complex variables and applications. Seventh eduation. 2004. New York, NY 10020. 7. Jian- Ke Lu, Shou-Guo Zhong, Shi-Qiang Liu Introduction to the theory of complex functions . World Scientific New Jersey. London. Singapore . Hong Kong. 2002.