Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема 8. Выборочный метод. Общие вопросы

1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда.
2. Генеральная и выборочная совокупности. Основная задача выборочного метода.
3. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

1. Вариационный ряд, его разновидности.

Средняя арифметическая и дисперсия ряда

Определение 1. Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями). При этом вариантами называются различные значения случайной величины Х.
Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину.
Вариационный ряд называется непрерывным (интервальным), если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.
Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами, а их отношения к общему числу наблюдений – частостями (или относительными частотами).
Определение 2. Эмпирической функцией распределения F_n(x) называется относительная частота (частость) того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного х, т.е. .
Накопленная частота показывает, сколько раз наблюдались варианты со значениями случайной величины, меньшими х.
Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений называется накопленной частостью.
Определение 3. Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот:
,
где x_i  варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда ; n_i – соответствующие им частоты; .
Свойства средней арифметической:

1. 
   Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.
   

M(C)=C.

2. 
   Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшиться) во столько же раз:
   

.

3. 
   Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличиться (уменьшиться) на же число:
   

.

4. 
   Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю:
   

.

5. 
   Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:
   

.
Только средняя арифметическая не может в достаточной степени характеризовать вариационный ряд. Она не характеризует степень изменчивости значений признака.