Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Определение 1. Двумерная случайная величина (Х,У) распределена по нормальному закону, если её совместная плотность имеет вид:
(x,у) = ,
где L(x,y) = [( )² - 2 + ( )²] .
Если нормальный закон одной случайной величины определяется двумя параметрами: а и , то двумерный нормальный закон распределения определяется пятью параметрами: а_х, а_у, ²_х , ²_у, , которые являются математическими ожиданиями и дисперсиями соответствующих случайных величин, а - коэффициент корреляции.
Аналогично формулам условных вероятностей для дискретных случайных величин, можно вывести аналогичные формулы для плотности вероятностей условных распределений, которые имеют вид:
_у(x) = и _х(у) = .
Из этих формул следует теорема (правило) умножения плотностей вероятностей:
(х,у) =  ₁(x) _х(у) =  ₂(у) _у(x).
Условные математические ожидания и условные дисперсии нормально распределённых величин вычисляются по формулам:
М_у(х) = а_х + (у - а_у), М_х(у) = ау + (х - а_х),
D_у(Х) = ²_х(1 - ²), D_х(У) = ²_у(1 - ²).

2. Лемма Чебышева (неравенство Маркова)

Неравенство Чебышева и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события

Теорема 1. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа  верно неравенство
.