Доказательство. Пусть Х дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения
X:
|
x1
|
x2
|
|
xi
|
|
xn
|
p1
|
p2
|
|
pi
|
|
pn
|
Пусть значения x1, x2, , xk не превосходят , а значения xk+1, , xn больше .
По теореме сложения вероятностей .
Но . Это вытекает из неотрицательности случайной величины Х и определения математического ожидания. Следовательно, . Теорема доказана.
Теорема 2. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:
, где a=M(X), >0.
Доказательство. Применим лемму Чебышева к случайной величине и положительному числу 2. Получим неравенство , равносильное неравенству . Теорема доказана.
Замечание. События X-a> и X-a противоположны, следовательно:
.
Запишем неравенство Чебышева для некоторых типов случайных величин.
1. Для случайной величины Х=m, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием np и дисперсией npq, справедливо неравенство:
.
2. Для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию , справедливо неравенство:
.
Do'stlaringiz bilan baham: |