Конспект лекций Раздел элементы линейной алгебры для студентов дневной и заочной форм обучения

1.4.2 Алгебраические операции над матрицами

1. 
   Сложение матриц.
   

Матрицы одинаковой размерности можно почленно складывать.
Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица той же размерности, элементы которой, где .
Например,
Тогда .
Свойства сложения матриц:
1. (коммутативность).
2. (ассоциативность).
3. Если , то
2) Вычитание матриц определяется аналогично сложению. Если , то
В приведенном выше примере
.
3) Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы на число называют матрицу , элементы которой , где .
Например, ,

Найдем матрицу

.
Свойства умножения матриц на число:
1.
2.
3.
4) Умножение матриц.
Умножение двух матриц определено, если число (количество) столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы . Такие матрицы называются соответственными.
Пусть размерность матрицы а матрицы .
Произведением двух матриц и называется матрица , элементы которой определяются по формуле: , т.е. каждый элемент матрицы есть сумма произведений элементов -й строки матрицы на -й столбец матрицы .
При этом размерность матрицы будет равна .
Например, пусть
Размерности матриц Число столбцов матрицы , число строк матрицы . Найдем произведение

Свойства произведения матриц:
1.
2.
3.
4.
5. Произведение двух матриц в общем случае не коммутативно. Не всегда . Эти произведения могут быть разными матрицами (и с разными элементами, и разной размерности), а могут после перестановки и вовсе не существовать. Например в рассмотренном примере матрицу нельзя умножить на матрицу .
6.
7.

5. 
   Возведение матрицы в степень.
   

Эта операция определяется только для квадратных матриц и только для целых степеней .
Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных .

Принято считать .

6. 
   Обращение матрицы.
   

Для матриц операция деления не определена, но можно определить аналог типа – нахождение обратной к данной.
Матрица называется обратной к матрице , если .
Обратная матрица обозначается , т.е. .
Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, если ее определитель .
Действительно, т.к. , то _.
С другой стороны,
Следовательно,
Каждая квадратная матрица с определителем, отличным от нуля, имеет обратную. Ее элементы находят по формуле _.
Вычисление обратной матрицы и есть операция обращения матрицы.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. Найти определитель исходной матрицы.
Если , то – вырожденная матрица, обратная матрица не существует и вычисление нужно прекратить.
Если , то обратная матрица существует. Перейти к п.2.
2. Найти алгебраические дополнения каждого элемента матрицы и составить матрицу из алгебраических дополнений в порядке следования элементов матрицы.
3. Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений.
4. Полученную матрицу умножить на множитель (или иначе: каждый элемент полученной матрицы разделить на определитель матрицы ). В результате получим обратную матрицу .
5. Выполнить проверку правильности вычислений, перемножив матрицы и в прямом и обратном порядке. Получение в результате единичной матрицы служит критерием правильности вычислений, т.е. _.
Пример. Найти матрицу, обратную данной

1. 
   
   

- обратная матрица существует.

2. 
   
   

Составим матрицу из :

3. Транспонируем матрицу :

4. , т.е.

5. Проверку предлагается выполнить самостоятельно.

5.