Конспект лекций Раздел элементы линейной алгебры для студентов дневной и заочной форм обучения

1.3.3 Методы вычисления определителя 3-го порядка


1.3.3.1 Правило треугольника
При решении СЛАУ в результате последовательного исключения неизвестных в знаменателях формул для получается выражение вида:

Это выражение мы назвали определителем 3-го порядка и обозначили

Заметим, что оно состоит из 6-ти слагаемых, каждое из которых содержит 3 сомножителя, взятых с определенным знаком, причем эти сомножители берутся из разных строк и столбцов.
Первые три слагаемые (со знаком «+») составлены как произведение элементов главной диагонали и 2 произведения элементов, стоящих в вершинах треугольников, построенных так, что одна из сторон каждого из них параллельна главной диагонали. Вторые 3 слагаемые (со знаком «-») построены аналогично для вспомогательной диагонали определителя. Эта формула называется Правилом треугольника.
Например, вычислим, пользуясь правилом треугольника, определитель:

1.3.3.2 Правило Сарруса
Фактически оно представляет собой модификацию правила треугольника и состоит в том, что исходный определитель «расширяется» путем приписывания к нему справа 1-го и 2-го столбцов (либо снизу 1-й и 2-й строк). Далее, 3 члена, являющиеся произведениями 3-х элементов в направлении главной диагонали, начиная от элементов верхней строки определителя, выписываются со знаком «+», а 3 члена, являющиеся произведениями 3-х элементов в направлении побочной диагонали, начиная от элементов нижней строки определителя, выписываются со знаком «-».
Например,


1.3.3.3 Правило Лапласа (Правило разложения определителя по элементам ряда)
Заметим, что в выражении определителя 4-го порядка выписывается 4!=24 слагаемых, состоящих из 4-х сомножителей каждое, что, естественно, затрудняет процесс вычисления. Следовательно, возникает необходимость в получении некой универсальной формулы вычисления определителя -го порядка. Рассмотрим ее вывод на примере определителя 3-го порядка. Но для начала нам небходимо ввести некоторые дополнительные понятия.
Минором элемента определителя -го порядка называется определитель, который получается из данного вычеркиванием -й строки и –го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента обозначается .
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор, взятый со своим или противоположным знаком согласно правилу: если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если же нечетное, то с противоположным. Обозначается алгебраическое дополнение :

Например, для

Обратимся вновь к формуле, выражающей определитель 3-го порядка:

Произведем группировку по элементам первой строки, вынося затем за скобки множители :

Выражения, стоящие в скобках представляют собой миноры элементов-сомножителей:
Чтобы добиться равенства знаков, заметим:
В итоге получим: или словами:
«Определитель равен сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения».
Такое представление определителя называется его разложением по элементам первой строки.
Аналогично можно было группировать слагаемые по элементам любой другой строки или столбца. Т.е., для определителя 3-го порядка существует 6 способов разложений (у него 6 рядов) по элементам ряда.
_{, ,
, ,}
Например, вычислим определитель: .
_{Раскрываем его по элементам первой строки .}
Тут
Тогда
Для определителя произвольного порядка данное правило было обобщено Лапласом и называется теперь правилом Лапласа или правилом разложения определителя по элементам ряда. Его формулировка:
«Определитель равен сумме попарных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения».
По данному правилу следует сделать несколько замечаний:

1. 
   Определитель -го порядка выражается через определителей ( -1)-го порядка. В итоге вычисление определителя -го порядка может быть сведено к вычислению определителей 2-го порядка.
   
2. 
   Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
   

_Так как в предыдущем примере

3. 
   Вычисление определителя по правилу Лапласа значительно упрощается, если разложение производится по ряду, содержащему наибольшее количество нулей.
   

Например, в разложение выгодно вести либо по третьему столбцу, либо по третьей строке.

4. 
   Если определитель вообще не содержит нулей, то их можно получить, используя свойства определителей, в частности, свойство 8. Удобнее всего преобразования производить в том ряду, который содержит единицу. При этом важно помнить, что, получая нули в строке, действия следует выполнять со столбцами, и наоборот.
   

Вычислим
Так как первый столбец уже содержит один нуль и в нем есть минус единица, получим на месте тройки тоже нуль. Для этого каждый элемент третьей строки умножим на три и прибавим к соответствующим элементам первой строки. При этом меняется первая строка («к» которой прибавляем), а третья остается без изменений.
Получаем: Далее раскладываем определитель по элементам первого столбца:

Теперь, когда нами получены правила вычисления определителей, рассмотрим примеры решения СЛАУ методом Крамера.

Например, решим систему _{, для которой}
Теперь определяем , путем замены первого столбца столбцом свободных членов

Вычисляем

Находим
После этого вычисляем
Проверка

Обобщим формулы Крамера для системы линейных уравнений с неизвестными.
Пусть дана система

Ее основной определитель

Теорема Крамера:
Если основной определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам:

где - определитель, полученный из основного определителя заменой -го столбца свободными членами системы.