Конспект лекций Раздел элементы линейной алгебры для студентов дневной и заочной форм обучения

Исследование однородной СЛАУ

Напомним, что в однородной системе линейных алгебраических уравнений все правые части равны нулю:

Ее расширенная матрица системы отличается от основной наличием лишь нулевого столбца, что по свойству ранга, его не меняет. Следовательно, и по тереме Кронеккера-Капелли однородная СЛАУ совместна всегда.
Этот факт верен еще и потому, что по крайней мере один (нулевой) набор значений неизвестных обращает в тождество каждое уравнение системы.
Таким образом, для однородной системы остается выяснить, определена она или не определена.
В случае справедлива следующая теорема:
Линейная однородная система уравнений с неизвестными имеет единственное (нулевое) решение тогда и только тогда, когда основной определитель системы , и множество ненулевых решений тогда и только тогда, когда .
Например: .
Решаем методом Гаусса:
Вместо 3-х уравнений получаем одно которое допускает множество решений.
Общее решение: – любые действительные числа.
Положив , получаем одно частное решение: Положив , получаем второе частное решение и т.д.
Другой пример:
Система совместна, определена, решение:

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Сформулируйте понятие определителя 2-го порядка, правила его вычисления, свойства.
   
2. 
   Как определяется детерминант 3-го порядка. Понятие об определителях произвольного порядка. В чем состоит правило треугольника и правило Сарруса вычисления определителя 3-го порядка.
   
3. 
   Дайте определение минора, алгебраического дополнения элемента. Приведите правило вычисления определителя разложением по элементам ряда.
   
4. 
   Объясните понятие матрицы, укажите виды матриц. Разъясните линейные операции над матрицами, умножение матриц.
   
5. 
   Дайте понятие матрицы, обратной данной, приведите алгоритм её нахождения.
   
6. 
   Дайте понятие о системах линейных алгебраических уравнений с неизвестными, приведите общую схему исследования.
   
7. 
   Ознакомьтесь с понятием ранга матрицы и методами его вычисления.
   
8. 
   Сформулируйте условие совместности СЛАУ (теорема Кронеккера-Капелли).
   
9. 
   Приведите решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера, укажите условия применимости.
   
10. 
    Рассмотрите решение системы линейных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.
    
11. 
    Что представляют собой элементарные преобразования СЛАУ. Приведите алгоритм метода Гаусса решения СЛАУ.
    
12. 
    Укажите иные применения метода Гаусса в линейной алгебре.
    
13. 
    Дайте понятие основных и свободных неизвестных. Приведите алгоритм решения неопределенной СЛАУ.
    
14. 
    Приведите схему исследования однородных систем линейных уравнений.
    

Примеры: