Конспект лекций Раздел элементы линейной алгебры для студентов дневной и заочной форм обучения

1.7 Исследование систем линейных алгебраических уравнений

В предыдущих параграфах мы выяснили, что система линейных уравнений с неизвестными может иметь единственное решение, может иметь бесчисленное множество решений (неопределенная), может не иметь ни одного решения (несовместная), и познакомились с некоторыми методами решения таких систем.

Например, система не имеет решений, т.е. несовместна;
система имеет единственное решение
система имеет бесчисленное множество решений при
Напомним, что прежде чем решать систему уравнений, имеет смысл исследовать эту систему, т.е. выяснить ответы на следующие вопросы:
1) Совместна ли система?
2) Если система совместна, то, сколько решений она имеет – одно или несколько?
3) Как найти все решения системы?
Для систем уравнений малой размерности при ответы на эти вопросы можно получить, пользуясь формулами Крамера:
1) если основной определитель системы то система совместна и имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера;
2) если а хотя бы один из вспомогательных определителей то система несовместна, т.е. не имеет решений;
3) если же и все , а хотя бы один из коэффициентов системы уравнений то система неопределенная и имеет бесчисленное множество решений.
Сложнее решаются вопросы исследования и решения системы уравнений с большим количеством уравнений и неизвестных, особенно в случае .
Легко разрешить эти вопросы можно с помощью понятия ранга матрицы.

1. 
   Ранг матрицы и его свойства
   

В существующей математической литературе можно выделить несколько подходов к определению понятия ранга матрицы:

- с помощью понятия линейной зависимости/независимости строк (столбцов) матрицы (ранг равен максимальному количеству линейно независимых строк (столбцов) матрицы);
- с помощью понятия минора матрицы как наивысший порядок минора, отличного от нуля (минором матрицы порядка называется определитель – го порядка, который составлен из элементов, стоящих на пересечении вычеркиваемых строк и столбцов матрицы);
- с помощью метода Гаусса (по завершении прямого хода ранг матрицы равен количеству ненулевых строк).
Ранг матрицы обозначают
Часто нахождение ранга облегчает применение его свойств:

1. 
   Квадратная невырожденная матрица всегда имеет ранг, отличный от нуля.
   
2. 
   При транспонировании ранг матрицы не изменяется.
   
3. 
   При перестановке двух параллельных рядов матрицы (двух строк или двух столбцов) ранг матрицы не изменяется.
   
4. 
   При удалении нулевого столбца или нулевой строки ранг матрицы не изменяется.
   
5. 
   При удалении строки (или столбца), которая является линейной комбинацией других строк (или столбцов), ранг матрицы не изменяется.
   
6. 
   При умножении всех элементов строки (столбца) на число ранг матрицы не изменяется.
   
7. 
   Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.
   
8. 
   тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю.
   

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.
Ранг матрицы определен на основании свойства определителя, содержащего строки с пропорциональными элементами. (Любой минор 2-го или 3-го порядка матрицы равен нулю).
Ранги матриц и определены с помощью вычеркивания нулевых строк. ( матрице минор на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов отличен от нуля).
Матрица – невырожденная, поэтому ее ранг равен трем. (Проверьте самостоятельно условие ).
Ранг матрицы определим с помощью элементарных преобразований:
1) элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам 2-й строки;
2) элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам третьей строки;
3) элементы первой строки умножим на (-5) и прибавим к элементам четвертой строки:

Третью строку полученной матрицы прибавим ко второй и к четвертой строкам

(Удалены строки 2 и 4 с нулевыми элементами). Число ненулевых строк равно 2 или минор 2-го порядка в левом углу матрицы
, что и требовалось доказать.

2.