Лекции Классификация методов решения краевых задач (КЗ) для оду

Лекция – 1


МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОДУ)

План лекции

1. 
   Классификация методов решения краевых задач (КЗ) для ОДУ;
   
2. 
   Общая постановка КЗ для ОДУ 2-го порядка;
   
3. 
   Составление функции невязки;
   
4. 
   Метод коллокации;
   
5. 
   Интегральный и дискретный методы наименьших квадратов;
   
6. 
   Метод подобластей;
   
7. 
   Метод Галеркина;
   
8. 
   Общие сведения о методе взвешенных невязок.
   

Ключевые слова: краевые задачи для ОДУ, невязка, система базисных функций, минимизация невязки.

1. Методы решения краевых задач

Для решения краевых задач (КЗ) для ОДУ разработаны эффективные приближенные и численные методы. К приближенным методам относятся методы коллокации, наименьших квадратов, подобластей, а также достаточно эффективный и универсальный метод Галеркина.

Численные методы решения краевых задач для ОДУ основаны на построение разностных решений. Разностные методы благодаря своей гибкости и большой универсальности получили широкое признание.
2. Методы минимизации невязки

Краевая задача состоит в следующем. Требуется найти решение дифференциального уравнения

(1)
удовлетворяющее двум краевым условиям
(2)
где p(x), q(x), f(x) C[a, b] - заданные функции - заданные числа, причем

В (2) если , то это - краевые условия первого рода. Если , то это краевые условия второго рода. В общем случае краевые условия называются краевыми условиями третьего рода.
Для решения (1), (2) поступаем следующим образом. Задаемся на отрезке [a, b] некоторой линейно независимой системой дважды дифференцируемых функций (т.е. функций из пространства С⁽²⁾[a, b]), ₀, ₁..., _n, ..., таких, что ₀ удовлетворяет краевым условиям (2), т.е. l₀₀=₀, l₁₀=₁, а остальные функции удовлетворяют однородным краевым условиям
l₀_i=0, l₁_i=0, i=1,2, ... .
Заданная система функций {_i} называется б а з и с н о й.