Лекции Классификация методов решения краевых задач (КЗ) для оду

4. Интегральный метод наименьших квадратов

На невязку накладывается требование, чтобы интеграл

принимал минимальное значение.

Для минимума интеграла необходимо выполнение следующих условий

(7)
Условия (7) с учетом (4) приводят к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно a_i,
(8)
где - скалярное произведение.
Если система функций L₁, ..., L_n линейно независима на отрезке [a,b], то (8) имеет единственное решение.


5. Дискретный метод наименьших квадратов

Здесь вместо минимума интеграла I ищется минимум конечной суммы

где x_i(a,b) - некоторые точки, Nn.
Получаемая система уравнений для a_i имеет тот же вид (8), с той лишь разницей, что используется скалярное произведение

Если N=n, то данной метод приводит к методу коллокации.


6. Метод подобластей

Пусть a=x₀₁<..._n=b. Коэффициенты приближенного решения y_n(x) находятся из системы уравнений

При этом опять приходим к СЛАУ относительно a_i, При применении этого метода надо быть осторожным, так как если длина интервалов [x_i-1, x_i] не мала и является быстроосциллирующей функции по х метод может дать плохой результат.


7. Метод Галеркина

В основе метода Галеркина лежит требование ортогональности базисных функций ₁, ₂,..._n к невязке (4), т.е.

Это требование приводит к следующей системе линейных алгебраических уравнений для коэффициентов a_i

Рассмотренные выше приближенные методы решения краевых задач имеют общую основу. Обобщающий метод называется методом взвешенных невязок.

Предположим, что требуется аппроксимировать заданную функцию в некоторой области , ограниченной замкнутой кривой . Попытаемся сначала построить аппроксимации, которые на граничной кривой принимали бы те же значения, что и . Если найти некоторую функцию , принимающую одинаковое с , значения на , т.е. , и ввести систему линейно независимых базисных функции таких, что для всем , то на можно предложить аппроксимацию для :
(9)
где ( ) - некоторые параметры, вычисляемые таким образом, чтобы получить хорошее приближение. Базисные функции иногда называют ф у н к ц и я м и ф о р м ы или п р о б н ы м и ф у н к ц и я м и.
Система должна обладать тем свойствам, что комбинация при может сколь угодно точно представлять произвольную функцию , удовлетворяющую условию . Это так называемое у с л о в и е п о л н о т ы.
Введем понятие погрешности или невязки в аппроксимации, определяемой по правилу
.
- функция, зависящая от координат точки из . Чтобы уменьшить эту невязку неким всеобъемлющим способом на всей области , потребуем равенства нулю соответствующего числа интегралов от погрешности, взятых с различными весами, т.е.
. (10)
где - множество линейно независимых весовых функций.
Подставляя (9) в (10) видим, что система уравнений метода взвешенных невязок сводится к системе линейных алгебраических уравнений для , которую можно записать в общем виде

где
,


На практике могут быть использованы различные виды систем весовых функций , ведущие к разным методам аппроксимации посредством взвешенных невязок.

1.