Свойства инвариантных мер системы случайных итераций гомеоморфизмов окружности. Бегматов А. С., Облаева М. А

Свойства инвариантных мер системы случайных итераций гомеоморфизмов окружности.
Бегматов А.С., Облаева М.А.
Туринский Политехнический Университет в Ташкенте,
Национальный университет Узбекистана
имени Мирзо Улугбека, Tашкент.
abdumajidb@gmail.сom
В этой работе будут рассмотрены случайные независимые и одинаково распределенные итерации функций из системы случайных итерации гомеоморфизмов окружности.
Пусть К — компактное топологическое пространство со своими борелевскими множествами. Мы называем конечное множество. F={f₁,…f_N } непрерывных функций f_j:K j=1,…..N итерационная система функций (ИСФ). Если все отображения f_j являются гомеоморфизмами, как мы, вообще говоря, будем принять здесь, то мы также рассматриваем ассоциированную (ИСФ) из обратные функции.
Дана стохастическая последовательность со значениями в{1,…..N}, для определяющее

Мы можем рассматривать без ограничения общности неопределенную общую область случайных величин здес , снабженный вероятностью мера P определена на ее борелевских подмножествах, где определяется как для каждый
и
Позже мы также рассмотрим отображение сдвига определяемое формулой Таким образом, для любых и любого мы определяем
где , (1)
Последовательность называется траекторией, соответствующей реализации ω случайного процесса , начиная с _.
Пусть — н.и.р. переменные. Тогда вероятностная мера P является мерой Бернулли, определяемой вектором вероятности . Отсюда следует, что , определенный в (1), и определенные в (2), имеют одинаковые распределение для любого фиксированного , и является (однородной по времени) цепью Маркова
с оператором переноса T, определенным для ограниченных измеримых функций и

_Если p не вырождено, т. е. если для каждого , то мы называем пара ПФС вероятностями. Цепь Маркова получается независимыми случайными итерациями, где на каждом шаге итерации функции равны выбирается с вероятностью _{.
Цепи Маркова, порожденные} ИСФ с вероятностями, являются особым классом Марковских цепи, которым в последние годы уделяется большое внимание.
Борелевская вероятностная мера µ на K является инвариантной вероятностной мерой для
ПФС с вероятностями , если
, здесь
Мы всегда будем предполагать , чтобы быть единичной окружностью и
рассмотрим ИСФ F= гомеоморфизмов f_j: Пусть (х, у): = min{|y−x|,1−|y−x|} — стандартная метрика на S¹.
ПФС минимален вперед, если для любого открытого множества и любого существуют некоторые и некоторые такие, что

Другими словами, для прямой минимальной ИСФ можно перейти из любой точки, сколь угодно близкой к любой точке y, применяя некоторые конкатенации функций в ИСФ.
Если носитель меры совпадает с весь S¹, то мера называется иметь полный носитель.
Теорема. Пуст (F, p)— ИСФ(итерационная система функций) с вероятностями гомеоморфизмов окружности и - инвариантная вероятностная мера для (F, p). Если F—вперёд минимальная, тогда является не атомарной и имеет полный носитель.

Литература

1. A.B.Katok and B.Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1995. 3-bob, 11-bo’lim.

2. Katrin Gelfert, Örjan Stenflo, Random iterations of homeomorphisms on the circle, Modern Stoch. Theory Appl. 4(2017), no. 3, 253-271.
3. Hicham Zmarrou, Ale Jan Homburg. Dynamics and bifurcations of random circle diffeomorphism. Discrete & Continuous Dynamical Systems - B, 2008, 10 (2&3, September) : 719-731.