Контрольная работа №1 Вариант №1 Определители 2-го и 3-го порядка. Решить систему уравнений методом Крамера

Определители, матрицы, СЛУ, векторы, прямая, плоскость и линии 2-го порядка.
Контрольная работа № 1

Вариант № 1

1. 
   Определители 2-го и 3-го порядка.
   
2. 
   Решить систему уравнений методом Крамера
   

2x₁ - x₂ - 3x₃ = 3 отв.(5;-2;3)
3x₁ +4x₂ - 5x₃ = -8
2x₂ + 7x₃ = 17

3. 
   Написать уравнение линии, по которой движется точка М(х;у), равноудаленная от точек А(0;2) и В(4;-2). Лежать ли на этой линии точки С(-1;-1) , D(1;-1) , E(0;-2) и F(2;2).
   

Ответ : х – у – 2 = 0, прямая.

Вариант № 2

1. 
   Метод треугольников для вычисления определителей 3-го порядка.
   
2. 
   Решить систему уравнений методом Крамера
   

2x₁ + x₂ - x₃ = 0 отв.(1;-2; 0)
3x₂ - 4x₃ = -6
x₁ +x₃ = 1

3. 
   Написать уравнение линии, по которой движется точка М(х;у), равноудаленная от начало координат и от точки В(-4;2). Лежать ли на этой линии точки С(-2; 1) , D(2; 3) , E(1;7) .
   

Ответ : 2х – у + 5 = 0, прямая.

Вариант № 3

1. 
   Метод Сарриюса для вычисления определителя 3-го порядка.
   
2. 
   Решить систему уравнений методом Крамера
   

2x₁ + 3x₂ +8x₄ = 1
x₂ – x₃ + 3x₄ = 0 Ответ : (-19;26;11;-5)
x₃ + 2x₄ = 1
x₁ + x₄ = -24

3. 
   Написать уравнение прямой у = 6х – 2 в отрезках и построить её.
   

Вариант № 4

1. 
   Минор и алгебраическое дополнение элемента а _{i ,j} определителя 4-го порядка.
   
2. 
   Решить систему уравнений методом Крамера
   

x₁ + 2x₂ +3x₃ = 1
2x₁ + 6x₂ + 4x₃ = 6 Ответ : (-3; 3; 0)
3x₁ + 10x₂ + 8x₃ = 21

3. 
   Написать уравнение окружности , если центр окружности находиться в точке С (-2; 0), а радиус равен 2.
   

Вариант № 5

1. 
   Разложение по строке (столбцу) квадратного определителя размера 4 х 4 элементов.
   
2. 
   Вычислить определитель использую разложение по 2-му столбцу
   

Ответ : abcd

3. 
   Написать уравнение прямой , проходящей через точки E(0;3) и F(4;0).
   

Ответ : х – у – 2 = 0, прямая.
Вариант № 6

1. 
   Произведение двух матриц. Транспонирование матрицы.
   
2. 
   Найти произведения матриц
   

A= B=

3. 
   Уравнение прямой линии 6х + 9у – 18 = 0 представить в различных видах ( с угловым коэффициентом , в отрезках) и построить её.
   

Вариант № 7

1. 
   Линейная комбинация матриц А и В.
   
2. 
   Найти линейную комбинацию матриц 4 А – 3В, если
   

A= , B=

3. 
   Дана сила F {4; 4;-4 }. Найти величину и направление силы F
   

Ответ :.
α=60° β=60° γ=135°

Вариант № 8

1. 
   Ранг матрицы . Ступенчатая матрица. Приведение к ступенчатому виду.
   
2. 
   Найти ранг матрицы.
   
3. 
   A= Ответ : r(A) =2.
   

Написать уравнение прямой , проходящей через точки E(2; 1) и F(4; 2).

Вариант № 9

1. 
   Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы.
   
2. 
   Найти обратную матрицу А^-1 методом присоединенной матрицы А .
   
3. 
   A= Ответ :
   

4. 
   Найти расстояние d точки М ₀ (2 ; 3) до прямой 4х – 6у = 10 .
   

Ответ : d = .
Вариант № 10

1. 
   Присоединенная матрица к матрице А .
   
2. 
   Найти присоединенную матрицу к матрице
   

A=

3. 
   Найти точку пересечения прямых 3х + 5у – 9 = 0 и 10х – 6у + 4 = 0.
   

Ответ : (0,47 ; 1,50).

Вариант № 11

1. 
   Элементарные преобразования , которые не меняют ранг матрицы.
   
2. 
   Привести матрицу А к ступенчатому виду и найти ранг матрицы r(А), если
   

A= Ответ : r(A) =2.

3. 
   Построить окружность: х² + у² – 8х = 0.
   

Ответ :.
Вариант № 12

1. 
   Алгебраическое дополнение (А _{i , j}) матрицы А.
   
2. 
   Для чего служит формула A^-1 =
   

и применить эту формулу, если
A=

3. 
   Найти точку пересечения прямых в пространстве х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 0 , 2х₁ + 6х₂ + 4х₃ = 6 , 3х₁ + 10х₂ + 8х₃ = 21.
   

Ответ : (-3 ; 3 ; 0).
Вариант № 13

1. 
   Теорема Кронекера-Капелли.
   
2. 
   Исследовать и решить систему линейных уравнений методом Гаусса
   

x₁ + x₂ = 3
x₁ - x₂ = -1

3. 
   Построить плоскость : 4х – 8у – 12z = 24.
   

Ответ :.
Вариант № 14

1. 
   Матричные уравнения.
   
2. 
   Исследовать и решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы
   

2x₁ + 3x₂ + x₃ = 1
x₁ + 2x₂ + x₃ = 2
x₁ + x₂ + 2x₃ = 4

3. 
   Написать уравнение плоскости 4х + 6у +12z = 36 в отрезках и построить её.
   

Ответ :.

Вариант № 15

1. 
   Векторы. Виды векторов. Сложение векторов.
   
2. 
   Решить систему уравнений .
   

x + 2y + 3z = 5
4x + 5y +6z = 8
7x + 8y = 2
Ответ :(-2; 2; 1).

3. 
   На плоскости даны точки А(0;-2) и В(4;2) , С(4;-2). В начале координат приложены силы , , и . Построить их равнодействующую силу . Найти её проекции на оси координат и величину.
   

Ответ :.

Вариант № 16

1. 
   Прямоугольные координаты точки и вектора. Модуль вектора. Проекция вектора.
   
2. 
   Построить точку М(6; -3; 2). Определить длину и направление её радиус – вектора.
   
3. 
   Решить систему уравнений .
   

x₁ + 2x₂ = 3
4x₁ - x₂ = 3

Ответ : ( ; 4).

Вариант № 17

1. 
   Скалярное произведение двух векторов.
   
2. 
   Определить угол между векторами = -2i + j и = i - j +2k.
   
3. 
   Решить систему методом Крамера.
   

2x₁ -3x₂ + x₃ = -7
x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 14
-x₁ - x₂ +5x₃ = -18

Ответ : (1; 12; -3).

Вариант № 18

1. 
   Векторное произведение двух векторов и ортов.
   
2. 
   Определить и построить вектор = х , если = 3i , = 2k.
   
3. 
   Решить систему уравнений .
   

2x₁ + x₂ – x₃ = 3
x₁ + 3x₂ +2x₃ = 3
x₁ + x₂ = 3 Ответ : не возможно решить.

Вариант № 19

1. 
   Векторное произведение векторов заданных со своими координатами a{a_x ; a_y ; a_z} и b{ b_x ; b_y ; b_z} .
   
2. 
   Определить и построить вектор c = a x b , если a = 2i + 3j – 4k и b = i – 2j +4k.
   
3. 
   Решить систему уравнений методом Гаусса.
   

4x – 3y + 2z = 9
2x + 5y – 3z = 4
5x + 6y – 2z = 18
Ответ : (2 ;3 ; 5).
Вариант № 20

1. 
   Скалярное произведение двух векторов a{a_x ; a_y ; a_z} и b{ b_x ; b_y ; b_z} .
   
2. 
   Даны точки А(2;0;0), В(0;0;4) и С(2;0;2). Построить векторы ОС и АВ и найти угол между ними. Отв:
   
3. 
   Найти миноры M _i,j и алгебраические дополнение A _i,j к элементам матрицы A=
   

Ответ : .
Вариант № 21

1. 
   Смешанное произведение трех векторов a{a_x ; a_y ; a_z} , b{ b_x ; b_y ; b_z} и с{с_x ; с_y ; с_z}.
   
2. 
   Построить параллелопипед на векторах a = 6i +8j , b = -6j + 2k , c = 4j + 10k и вычислить его объем . Ответ :306 ед.куб
   
3. 
   Найти матричного многочлена f (А), если f (x) = -3x² + 4x + 5 и А =
   

Ответ :.
Вариант № 22

1. 
   Деление отрезка в заданном отношении.
   
2. 
   Даны точки А(-2 ;1) и В(3 ; 6). Разделить отрезок АВ в отношении АС: СВ = -3:2 . Ответ : С(13;16).
   
3. 
   Определить угол А в треугольнике АВС , если А(2;-1; 3) , В(1;1;1) и С(0;0;5). Ответ : 90°.
   

Вариант № 23

1. 
   Площадь многоугольника с вершинами А (х ₁; у ₁ ) , В( х ₂; у ₂ ) , С(х ₃; у ₃ ) , D(х ₄; у ₄ ) .
   
2. 
   Вычислить площадь многоугольника, если вершины имеют координаты А (-2; 1 ) , В( 0; 3 ) , С(4; 0 ) , D(0; -3 )
   
3. 
   В точках А(х₁ ) и В(х₂ ) оси Ох помещены массы m₁ и m ₂ . Найти центр масс. Указание = _.
   

Ответ :.

Вариант № 24

1. 
   Общее уравнение плоскости.
   
2. 
   Написать уравнение плоскости 3х + 6у + 9z = 36 в отрезках и построить её.
   
3. 
   Решить систему уравнений методом обратной матрицы.
   

X+ 2y+ 3z= 5
4x+ 5y+ 6z= 8
7x+ 8y = 2
Ответ : (-2; 2; 1).

Вариант № 25

1. 
   Особые случаи прямой Ах + Ву + С = 0.
   
2. 
   Определить угол между прямыми у = 2х – 6 и у = х + 3. Отв.
   
3. 
   Условие параллельности и перпендикулярности в примере 2 (предыдущий пункт).
   

Ответ :.
Вариант № 26

1. 
   Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (х₀ ; у ₀ ; z₀ ) и перпендикулярной к вектору N {A ; B ; C}.
   
2. 
   Составить уравнение плоскости , проходящей через точку М₀ (3 ; 2 ; 4 ) и перпендикулярной к вектору N {4 ; -3 ; 2}.
   
3. 
   Составить уравнение прямой , проходящей через две точки в пространстве : E(3;2;1) и F(1;1;1).
   

Ответ :.
Вариант № 27

1. 
   Уравнение окружности с центром в точке М(х ₀ ; у ₀ ) и радиусом R .
   
2. 
   Составить уравнение окружности , если центр находиться в точке М(-2; 0) , а радиус равен R = 2.
   
3. 
   Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки А(1; 0; -1) , В(2;2;3) и С(0;-3;1).
   

Ответ : 16х - 6у - z -17= 0.

Вариант № 28

1. 
   Каноническое уравнение эллипса с центром в точке (0 ; 0) и М(х ₀ ; у ₀ ).
   
2. 
   Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнение директрисы эллипса 16 х² + 25 у² – 400 = 0
   
3. 
   Вычислить определитель
   

Ответ :.
Вариант № 29

1. 
   Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (0 ; 0) и М(х ₀ ; у ₀ ).
   
2. 
   Составит уравнение гиперболы, если 2с = 10 , а = 3.
   

Отв.

3. 
   Вычислить выражение f (A) = 2A – 3B + 4C, если
   

А = В = С = .

Ответ :

Вариант № 30

1. 
   Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (0 ; 0) и М(х ₀ ; у ₀ ).
   
2. 
   Дана парабола х ² = 4у. Найти координаты её фокуса, уравнение директрисы, длину фокального радиуса точки М (4 ; 4 ).
   

4. 
   Вычислить выражение f (A) = 3A – 2B , если
   

А = В =

Заведующий кафедрой Сулайманова Д.

Составил Самандаров И.Р.