Контрольные вопросы Что такое логическое высказывание? Какие операции можно производить с высказываниями?

Эквиваленцией высказываний A� и B�
называется новое высказывание, обозначаемое A↔B�↔�, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывание A� и B� одновременно истинны или ложны. Читается как: «A� равносильно B�»; «A� необходимо и достаточно для B�»; «A� тогда и только тогда, когда B�».
Рассмотрим импликацию высказывний A1�1 и A2�2, которая записывается как A1↔A2�1↔�2 и читается как «Москва — столица Австрии тогда и только тогда, когда число 88 больше числа 33». Это высказывание ложно, так как высказывание A2�2 истинно, а A1�1 ложно.
Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом.

A�	B�	A↔B�↔�
00	00	11
00	11	00
11	00	00
11	11	11

Также эквиваленцию можно выразить через импликацию и конъюнкцию, тогда
A↔B=(A→B)∧(B→A)�↔�=(�→�)∧(�→�)
Покажем это, используя таблицы истинности.

A�	B�	A↔B�↔�	A→B�→�	B→A�→�	(A→B)∧(B→A)(�→�)∧(�→�)
00	00	11	11	11	11
00	11	00	11	00	00
11	00	00	00	11	00
11	11	11	11	11	11

Как видно из таблицы истинности столбцы A↔B�↔� и (A→B)∧(B→A)(�→�)∧(�→�) имеют одни и те же значения при одинаковых наборах значений A� и B�, что говорит о равенстве этих двух формул.

Отрицание

Отрицанием высказывания A�
называется новое высказывание, обозначаемое A¯¯¯¯�¯, которое является истинным, когда высказывание A� ложно, и ложным, когда высказываине A� истинно. Читается как: «не A�»; «неверно, что A�».
Рассмотрим отрицание высказывния A1�1, которое записывается как A1¯¯¯¯¯¯�1¯ и читается как «неверно, что Москва — столица Австрии». Это высказывание истинно, так как высказывание A1�1 ложно.
Таблица истинности для отрицания выглядит следующим образом.

A�	A¯¯¯¯�¯
00	11
11	00
Основы математической логики

3. Какие структурные схемы у элементов И, НЕ, ИЛИ? Привести таблицы истинности.

Электронные логические схемы широко используются в калькуляторах, компьютерах, телефонных станциях и во всех приложениях, где задействованы системы с двумя состояниями.
Система с двумя состояниями имеет только два уровня в любой точке, они называются «включено» или «выключено», «да» или «нет», «вверх» или «вниз» и так далее. Логические элементы — это небольшие электронные подсистемы, которые выполняют логические решения НЕ, И, ИЛИ и т. д., встроенные в любое цифровое электронное оборудование.
Содержание статьи:

• 
  Что такое логические элементы
  
• 
  Логический элемент «И» - конъюнкция, логическое умножение, AND
  
• 
  Логический элемент «ИЛИ» - дизъюнкция, логическое сложение, OR
  
• 
  Логический элемент «НЕ» - отрицание, инвертор, NOT
  
• 
  Логический элемент «И-НЕ» - конъюнкция (логическое умножение) с отрицанием, NAND
  
• 
  Логический элемент «ИЛИ-НЕ» - дизъюнкция (логическое сложение) с отрицанием, NOR
  
• 
  Логический элемент «исключающее ИЛИ» - сложение по модулю 2, XOR
  
• 
  Логические схемы
  
• 
  Аппаратная и программная реализация логических схем
  

Цифровые схемы — это тип электронных схем, в которых сигналы обычно имеют два уровня напряжения и обозначаются цифрами 0 и 1, что позволяет использовать алгебру логики, поэтому эти схемы называются логическими схемами.
Логические схемы являются основными элементами современной электроники. Благодаря пониженной чувствительности к помехам цифровые схемы обеспечивают лучшие результаты и меньшую интенсивность отказов. Логические элементы можно использовать во многих электронных проектах.
Используя логические элементы и полагаясь на логическую алгебру, мы можем создавать и проектировать различные системы, такие как системы сигнализации, цифровые радиоприемники или даже компьютер.
Логические схемы включают логические элементы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Булевы функции, используемые в логических схемах, представляют собой математические модели логических схем.