Контрольные вопросы Что такое логическое высказывание? Какие операции можно производить с высказываниями?

Определение высказываний

Высказывание — утверждение, относительно которого можно сказать истинно (1, истина, true) оно или ложно (0, ложь, false).
Высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами A,B,C,...�,�,�,... или буквами с индексами A1,B2,C′,...�1,�2,�′,....

Примеры

Следующие предложения являются высказываниями:
A1�1: «Лондон — столица Австрии».
A2�2: «Число 8 больше числа 3».
A3�3: «Число 8 больше числа 13».
A4�4: «Луна — спутник планеты Земля».
Причем высказывания A1,A3�1,�3 — ложные, а A2,A4�2,�4 — истинные.
Следующие предложения не являются высказываниями:
B1�1: «Какой сегодня день недели?».
B2�2: «2+32+3».
B3�3: «Число x� больше 3».
Мы не можем сказать о любом из высказываний B1,B2,B3�1,�2,�3 истинно оно или ложно. Например, в предложении B3�3 буква x� — переменная. Если поставить какое либо значение вместо нее, например 8, то получим истинное высказывание.

Операции над высказываниями

Сложные высказывания построены из более простых, используя следующие логические знаки
∧,∨,→,↔,¯,∧,∨,→,↔,¯,
которые имеют соответствующие названия: конъюнкция (логическое И), дизъюнкция (логическое ИЛИ), импликация (логические следование), эквиваленция (логическое равенство) и отрицание (логическое НЕ).
Пусть A� и B� — некоторые высказывания.

Конъюнкция

Конъюнкцией высказываний A� и B�
называется новое высказывание, обозначаемое A∧B�∧�, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывания A� и B� истины. Читается как A� и B�.
Рассмотрим конъюнкцию высказывний A1�1 и A2�2, которая записывается как A1∧A2�1∧�2 и читается как «Генуя — столица Австрии и число 8 больше числа 3». Это высказывание ложно, так как высказывание A1�1 ложно. Другими словами, конъюнкция является ложной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний ложно.
Рассмотрим произвольные высказывания A� и B� и полученное из них высказывание A∧B�∧�. Высказывания A,B�,� могут быть как ложными, так и истинными. Возможны следующие варианты:

1. 
   A� ложно, B� ложно;
   
2. 
   A� ложно, B� истинно;
   
3. 
   A� истинно, B� ложно;
   
4. 
   A� истинно, B� истинно;
   

В каждом их этих случаев, вычислив значение конъюнкции высказываний A∧B�∧�, получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.

A�	B�	A∧B�∧�
00	00	00
00	11	00
11	00	00
11	11	11

Где 11 обозначает истинное высказывание, 00 — ложное высказывание.
Операцию конъюникции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть A1,A2,...,An�1,�2,...,�� — высказывания. Тогда высказывание A1∧A2∧...∧An�1∧�2∧...∧��, являющееся конъюнкцией высказываний A1,A2,...,An�1,�2,...,��, будет истинным тогда и только тогда, когда все высказывания будут истинными.

Дизъюнкция