Контрольные задания №1 Разложите в ряд Маклорена функцию: 2

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

2. 
   Чем можно оправдать, что при малых значениях приращение функции приближенно равно её дифференциалу? Что выражает геометрически формула ?
   

Дифференциал,  является главной, линейной относительно  частью приращения функции; чем меньше  , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях  (и при  ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью  , т.е.

3. 
   Контрольное задание №6-7
   

№6. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:


2 вариант
, х=1, х = 3
Решение:
бъем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b), Осью Ox и прямыми x= a и x = b, вычисляется по формуле:

Вычислим определенный интеграл:

=2.094

№ 7. Вычислить приближенно интеграл

2 вариант
по формуле прямоугольников при n=8
Решение:
Формула прямоугольников основана на замене подынтегральной функции f(x) кусочно-постоянной функцией.
Формула левых прямоугольников (первая формула прямоугольников):

i	xi	yi
0	0	0
1	1	1
2	2	1.4142
3	3	1.7321
4	4	2
5	5	2.2361
6	6	2.4495
7	7	2.6458
8	8	2.8284

Остаточный член квадратурной формулы:
Найдем максимальное значение второй производной функции на интервале [0;8].
Контрольные вопросы:

1. 
   Дайте определение определенного интеграла. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
   

П
усть дана функция , определенная на отрезке . Этот отрезок разобьем на элементарных отрезков, шириной , где - номер отрезка. В каждом из этих элементарных отрезков выберем произвольную точку . Значение функции в этой точке умножим на длину отрезка , получим произведение , равное площади выделенного прямоугольника (см. рисунок).
Далее составим сумму всех таких произведений (сумму всех таких прямоугольников):
Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Определенным интегралом от функции на отрезке называется конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина их стремится к нулю.
Определенный интеграл обозначается символом (читается: определенный интеграл от до ); называется подынтегральной функцией, - переменной интегрирования, - нижним, - верхним пределом интегрирования.
Следовательно, по определению