Контрольные задания №1 Разложите в ряд Маклорена функцию: 2

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа - интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формула Ньютона-Лейбница)

Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке , надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка .

2. 
   План вычисления площади плоской фигуры.
   

а) Площадь криволинейной трапеции (явное задание функции).
Зададим на отрезке ( и - конечные числа) неотрицательную, непрерывную функцию , график которой изображен на рисунке.
Произведем разбиение отрезка на - частей точками

Выберем на каждом из полученных частичных отрезков ( ) по произвольной точке . Определим значения функции в этих точках и составим сумму



которую называют интегральной суммой и которая, очевидно, равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников, как показано на рисунке.
Предел, к которому стремится интегральная сумма, когда называется определенным интегралом от функции на отрезке

Е сли функция отрицательна внутри отрезка , то интеграл по абсолютному значению равен площади, покрываемой графиком, но имеет отрицательное значение (см. рис.).
П
усть теперь меняет знак на интервале , как показано на рисунке.

В этом случае определенный интеграл будет подсчитываться как

Например, найти площадь фигуры, ограниченной линией в пределах интервала , где , (см. рисунок). Имеем.



Это число равно разности площадей

и

б) Параметрическое задание функции.

Пусть кривая , ограничивающая исследуемую фигуру, задана параметрически: . В этом случае дифференциал будет равен: . И, следовательно, площадь фигуры будет определяться следующим выражением:

где .
Н апример, надо найти площадь эллипса. Уравнение эллипса в параметрическом виде записывается как

Действительно:

Отсюда

Тогда четвертая часть площади эллипса (в первом квадранте) будет рассчитываться как

Отсюда площадь эллипса равна .
в) Площадь криволинейного сектора (кривая в полярных координатах) дается формулой

Действительно, согласно рисунку, площадь элементарного сектора представляет собой площадь треугольника, равную половине произведения основания на высоту

Отсюда вытекает основная формула.