Максимал узнликдаги квази-филиформ Лейбниц алгебралар

УДК 512.554.38
Куралов Б.А.
Ташкентский Государственный технический университет
МАКСИМАЛ УЗУНЛИКДАГИ КВАЗИ-ФИЛИФОРМ ЛЕЙБНИЦ АЛГЕБРАЛАРИ


Квази-филиформ Лейбница алгебры максимальной длины


1-таъриф. F майдон устида аниқланган L алгебранинг ихтиёрий х,у,z элементлари учун x,y,z=x,y,z-x,z,y айният бажарилса, у ҳолда L алгебра Лейбниц алгебраси дейилади.
Бунда , - L да аниқланганкўпайтиришамали. Ихтиёрий L алгебрада қуйидаги кетма-кетликни қараймиз: L^<1>=L, L=L,L, n1. Агар nN топилиб, L=0 бўлса, L алгебра нильпотент дейилади.
Энди табий градуировкаланган алгебранинг таърифини келтирамиз:
2-таъриф. L_i=Lⁱ/Lⁱ⁺¹ , 1≤i≤k ва grL= бўлсин. У ҳолда [L_i ,L_j] L_i+j бўлади ва grL градуировкаланган алгебрага эга бўламиз. Агар grL ва L ўзаро изоморф бўлса, яъни grL у ҳолда L ни табиий градуировкаланган алгебра деб атаймиз.
R(L)={x [y,x]=0, } тўплам L алгебранинг ўнг аннулятори дейилади. У ҳолда, учун [x,x] ва [y,x]+[y,x] элементлар R(L) га тегишли бўлади. Cent(L)={ : [x,z]=[z,x]=0, } тўплам L алгебранинг маркази дейилади. I(L) орқали I(L) = тўпламни белгилаймиз.
Бунда R(L) ва I(L) тўпламларL да идеал бўлади. х L\[L,L] бўлсин, R_х ўнгдан кўпайтириш операторининг матрицасини Жордан нормал формаси катакларининг ўлчамларини камайиш тартибда ёзишдан ҳосил бўлган С(х)=(n₁, n₂, . . . ,n_k) кетма-кетликни қараймиз. Бу кетма-кетликлар тўпламида лексикографик тартибни аниқлаймиз. С(L)= кетма-кетлик L алгебранинг характеристиккетма-кетлигидейилади.
мисол. АгарС(L)=(1,1,…,1) бўлса, у ҳолда L алгебра абель алгебраси бўлади. L – n-ўлчовли нильпотент Лейбниц алгебраси бўлсин.
Агар С(L)=(n-p, ) бўлса, L Лейбниц алгебраси p-филиформ дейилади. Агар р=1 бўлса, L алгебра филиформва р=0 бўлса, ноль-филиформ дейилади.
3-таъриф. n-ўлчовли L Лейбниц алгебрасининг нильиндекси n-2 га тенг бўлса, L – квази-филиформ дейилади.
Яьни L^n-20 ва L^n-1=0 бу ерда n=dim(L).
Агар L= V_i бўлса, L – Z-градуировкаланган Лейбниц алгебраси дейилади. Бу ерда нолдан фарқли V_i фазоларнинг сони чеклита ва [V_i,V_j]  V_i+j ихтиёрий i, jZ.
Шу ўринда Лейбниц алгебрасида аниқланган L= градуировканинг ҳар бир қисм фазоси V_j0 j (k₁ j  k_t) бўлса, градуировка боғлиқли дейилади.
4-таъриф. len(L)= len( )=k_t-k₁+1 сон градуировканинг узунлиги дейилади.
Қуйидаги теоремада n-ўлчовли табиий градуировкаланган квази-филиформ Лейбниц алгебрасининг классификацияси келтирилган.
Агар L квази-филиформ Лейбниц алгебраси бўлса, у ҳолда R_x операторининг кўриниши қуйидагича , бўлади ва улар мос равишда I-тур ва II-тур кавзи-филиформ Лейбниц алгебралари дейилади.
L – n-ўлчовли (n≥6) табиий градуировкаланган квази-филиформ Лейбниц алгебраси бўлсин.


Теорема 1. L - n (n6) ўлчовли максимал узунликдаги I-тур кавзи-филиформ Лейбниц алгебраси бўлсин. У ҳолда L алгебра қуйидаги 2 та ўзаро изоморф бўлмаган алгебрадан бирига изоморф бўлади.
M^1, : M^2, :
Теорема 2. L - n (n6) ўлчовли максимал узунликдаги II-тур кавзи-филиформ Лейбниц алгебраси бўлсин. У ҳолда L алгебра қуйидаги алгебрага изоморф бўлади

M^3, :
1-тасдиқ. L – табиий градуировкаланганквази-филиформЛейбниц алгебрасибўлсин. У ҳолда L алгебра қуйидаги ўзаро изоморф бўлмаган алгебралардан бирига изоморф бўлади:
NG₁: NG₂:

NG₃: NG₄:

бу ерда NG₁ва NG₂лар II – тур алгебрага, NG₃ва NG₄ лар эса I – тур алгебрага мос келади.


Адабиётлар

1. 
   Аюпов Ш.А., Омиров Б.А. О некоторых классах нильпотентных алгебр Лейбница. // Сиб. мат. Журнал. – 2001. – Т. 42. - № 1. - С. 18-29.
   
2. 
   Cabezas J.M., Camacho L.M., Rodriguez I.M. On filiform and 2-filiform Liebniz algebras of maximum length, Journal of Lie Theory, vol. 18, 2008,
   

p. 335–350.

3. 
   Camacho L.M., Gómez J.R., González F.J., Omirov B. A. Naturally graded quasi-filiform Leibniz algebras, Journal of Symbolic Computation, vol. 44, 2009, p. 527–539.
   
4. 
   Camacho L.M., Gómez J.R., González F.J., Omirov B. A. Naturally graded 2-filiform Leibniz algebras, to appear in Communications in Algebra.