Koordinata sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu sistemaga nisbatan markazli va radiusli aylana tenglamasini tuzamiz

A y l a n a
koordinata sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu sistemaga nisbatan markazli va radiusli aylana tenglamasini tuzamiz.
Aylananing har bir nuqtasi berilgan nuqtadan barobar teng uzoqda yotgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rni bo‘lishi ta’rifidan foydalanamiz. (53-chizma)
53-chizma
–aylananing ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. Ta’rifga ko‘ra
yoki (1)
(1) tenglama markazi nuqtada va radiusi ga teng aylananing kanonik tenglamasi. Agar aylana markazi koordinatalar sistemasi boshi bilan ustma–ust tushsa, tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.
(2)
Egri chiziq parametrik ko‘rinishdagi tenglamaga ham ega. Aytaylik nuqta egri chiziq bo‘ylab harakatlansin va biror vaqtda koordinatalarga ega bo‘lsin.
U holda
(3)
tenglamalar sistemasi egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi, bunda t parametr hisoblanadi. Masalan
(4)
t
54- chizma
englamalar aylananing parametrik tenglamalaridir. Agar egri chiziqning parametrik tenglamalari ma’lum bo‘lsa, undan foydalanib, egri chiziqning oshkormas ko‘rinishdagi tenglamasini keltirib chiqarish mumkin. Oshkormas tenglama ba’zi hollarda chiziq tenglamasini ifodalamasligi ham mumkin. Boshqacha aytganda chiziqqa tegishli bo‘lmagan nuqtaning koordinatalari oshkormas tenglamani qanoatlantirishi mumkin. Agar (4) sistemadan t para­metrni chiqarsak, tenglamaga ega bo‘lamiz.
Misol: nuqtada, radiusi birlik bo‘lgan aylana yasang.
Yechish: Shartga ko‘ra aylana markazining koordinatalari
va radiusi uzunligi bo‘lganligidan formulaga ko‘ra aylana tenglamasi bo‘ladi. (54-chizma)
E l l i p s.
1-Ta’rif: Ixtiyoriy nuqtasidan fokuslari deb ataluvchi berilgan ikki va nuqtagacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi o‘zgarmas miqdor ga teng bo‘lgan tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plamiga e l l i p s deb ataladi.
O‘zgarmas miqdor fokuslar orasidagi masofadan katta deb olinadi. Ellips tenglamasini tuzish uchun koordinatalar sistemasini tubandagicha kiritamiz. Berilgan ikki nuqtani birlashtiruvchi to‘g‘ri chiziqni abssissalar o‘qi deb qabul qilamiz, koordinatlar boshini esa berilgan nuqtalar o‘rtasida olamiz.
Berilgan va fokuslar orasidagi masofani bilan belgilaymiz. U holda , nuqtalarning koordinatlari mos ravishda va ga teng bo‘ladi.
Ta’rifga ko‘ra yoki . Ellips ixtiyoriy nuqtasini bilan belgilaymiz.
Ellipsdagi ixtiyoriy nuqtaning va fokuslaridan masofalarini uni fokal radiuslari deyiladi va bilan belgilanadi, ya’ni va ellipsning ta’rifiga ko‘ra
(*)
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko‘ra
(**)
(**), (*)
Bu tenglamani 1-chi hadini o‘ng tomonga o‘tkazib, hosil bo‘lgan tenglamaning ikkala tomonini kvadratga ko‘tarsak

bundan
Bu ifodani ixchamlashtirgandan keyin quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz.

Tenglamaning ikkala qismini ga bo‘lib, quyidagini hosil qilamiz. bo‘lgani uchun musbat miqdordir, uni bilan belgilasak teng­lama
(5)
ko‘rinishni oladi. (5) tenglamaga ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi. Ellipsning (5) kanonik tenglamasiga ko‘ra shaklini o‘rganamiz.
1) (5) tenglama bilan aniqlangan ellips koordinatlar sistemasi o‘qlariga nisba­tan simmetrikdir. Haqiqatan shu ellipsning biror nuqtasi bo‘lsa, ya’ni sonlar (5) tenglamani qanoatlantirsa, u vaqtda (5) tengla­mada o‘zgaruvchi ning faqat kvadratlari qatnashgani uchun bu tenglama­ni va nuqtalarning koordinatalari ham qanoatlan­tiradi. (56 a-chizma).


56-chizma
Shuning uchun koordinata o‘qlari ellipsning simmetriya o‘qlaridir. Simmetriya o‘qlarining kesishgan nuqtasi ellipsning markazi deyiladi, fokuslar yotgan o‘qi uning fokal o‘qi deyiladi.
2) Ellipsning koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini topamiz. Masalan o‘q bilan kesishgan nuqtalarni topish uchun ushbu tenglamalar­ni birgalikda yechamiz.
(6)
(6) sistemaning ikkinchi tenglamasidan ni birinchi tenglamasiga qo‘ysak, hosil bo‘ladi. Shunday qilib ellips o‘qini va nuqtalarda kesadi. Shu singari ellipsning o‘q bilan kesishgan va nuqtalari topiladi. Demak ellipsning barcha nuqtalari tomonlari bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak ichiga joylashgan. (56 b-chizma).
Shu bilan birga ellips chiziqidan tashqarida joylashgan nuqtalarni ellips tenglamasini qanoatlantirmasligini ham ko‘rsatish mumkin. Faraz qilaylik ellips chiziqiga tegishli bo‘lmagan nuqta ellips chiziqiga tegishli bo‘lsin. U holda bu nuqta ellips tenglamasini qanoatlantirishi kerak, ya’ni


tenglik bajarilishi kerak. Ammo biz ga ega bo‘lamiz. Demak farazimiz noto‘g‘ri. nuqta ellipsga tegishli emas.
2-Ta’rif. Ellipsning fokuslari orasidagi masofani katta o‘qining uzunligiga nisbati ekssentrisiteti deyiladi va e harfi bilan belgilanadi.
Ta’rifga ko‘ra
(7)
Hamda
Ellipsning ekssentrisiteti uning shaklini aniqlashda muhim rol o‘y­naydi. Haqiqatan ham shuning uchun
bundan
ekssentrisitet da bo‘lib, kichiklashadi va ellips o‘qqa qisila boradi, aksincha bo‘lsa bu holda ellips aylanaga yaqinlasha boradi. Xususiy holda bo‘lsa, u aylanadan iborat bo‘ladi. (56 v-chizma)
Ellipsning koordinata o‘qlari (simmetriya o‘qlari) bilan kesishgan nuqtalari uning uchlari deyiladi. Ellipsning 4 ta uchi bor, (chizmada ular bilan belgilangan) kesma va uning uzunligi ellipsning katta o‘qi kesma va uning uzunligi esa ellipsning katta yarim o‘qi deyiladi. kesma va uning uzunligi ellipsning kichik o‘qi, kesma va uning uzunligi esa ellipsning kichik yarim o‘qi deyiladi. Ellips chegaralangan chiziq. (5) tenglamadan ko‘rinadiki, uning chap tomonidagi ifoda doimo musbat bo‘lib, har bir hadi quyidagi shartni qanoatlantirishi kerak.
bundan
Misol. nuqta orqali o‘tuvchi, fokuslari orasidagi masofa ga teng bo‘lgan ellipsning kanonik tenglamasini tuzing va ekssentrisitetini toping.