Koordinata sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu sistemaga nisbatan markazli va radiusli aylana tenglamasini tuzamiz

Yechish: Ellipsning kanonik tenglamasini yozamiz.
shartga ko‘ra nuqta ellipsga tegishli, shuning uchun bundan . Endi parametrni topish qoldi.

fokuslar orasidagi masofaning yarmi bo‘lgani uchun, shartga ko‘ra U holda

Demak ,

Tuzilgan tenglamaga ko‘ra bulardan foydalanib ni topamiz.


G i p e r b o l a
3-Ta’rif: Ixtiyoriy nuqtasidan fokuslari deb ataluvchi berilgan ikki va nuqtagacha bo‘lgan masofalar ayirmasining absolyut qiymati o‘zgarmas miqdor ga teng bo‘lgan tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plamiga giperbola deyiladi.
O‘zgarmas miqdor fokuslar orasidagi masofadan kichik deb olinadi.
Giperbola tenglamasini keltirib chiqarish uchun belgilashlarni, chiz­mani oldingi ellips tenglamasiga o‘xshash qilib olamiz. Berilgan fokuslar orasidagi masofani bilan belgilaymiz. U holda nuqtalarning koordinatlari mos ravishda va
ga teng bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra yoki .
Giperbola ixtiyoriy nuqtasini bilan belgilaymiz. (56-chizma).
Giperboladagi ixtiyoriy nuqtaning va fokuslaridan masofalarini uni fokal radiuslari deyiladi va bilan belgilanadi, ya’ni va
Giperbolaning ta’rifiga ko‘ra
(*)
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko‘ra
(**)
(**), (*)
Bu tenglamani ikkinchi hadini o‘ng tomonga o‘tkazib, hosil bo‘lgan tenglamaning ikkala tomonini kvadratga ko‘tarsak

bundan .
Bu ifodani ixchamlashtirgandan keyin quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz.

Tenglamaning ikkala qismini ga bo‘lib, quyidagini hosil qilamiz.

bo‘lgani uchun musbat miqdordir, uni bilan belgilasak tenglama
(8)
ko‘rinishni oladi. Bu tenglamaga giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi. Giperbolaning (8) tenglamasiga ko‘ra shaklini aniqlaymiz. Buning uchun giperbola tenglamasidan ham ellips tenglamasi ustida olib borilgan muhokamalarni takrorlab giperbolaning tarmoqlari koordinatalar boshi va koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrikligi aniqlanadi. Giperbola o‘qni va nuqtalarda kesadi. (57-chizma) (8) tenglama bilan aniqlangan giperbola o‘q bilan kesishmaydi. Haqiqatan (8) tenglamaga ni qo‘ysak, bo‘ladi, holbuki bu tenglik haqiqiy sonlar sohasida o‘rinli bo‘lmaydi. nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi. Giperbolaning uchlari orasidagi masofa uning haqiqiy o‘qi deyiladi.
Ordinatalar o‘qida dan masofada turuvchi va nuqtalarni belgilaymiz. ni giperbolaning mavhum o‘qi deyiladi. Agar nuqta giperbolada yotsa uning uchun (8) tenglamadan demak to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan sohada giperbolaning nuqtalari yo‘q. (8) tenglamani y ordinata o‘qiga nisbatan yechamiz.
(9)
Bu tenglamadan ko‘rinadiki, miqdor a dan gacha ortganda va -a dan - gacha kamayganda y miqdor - < y < + - oraliqdagi qiymatlarni qabul qiladi. Demak, giperbola ikki qismdan iborat bo‘lib, ular giperbolaning tarmoqlari deyiladi. Giperbolaning bir (o‘ng) tarmog‘i x>a yarim tekislikda, ikkinchi (chap) tarmog‘i x<-a yarim tekislikda joylashgan.
Agar giperbolaning fokuslari ordinatalar o‘qida joylashgan bo‘lsa, uning kanonik tenglamasi (10)
ko‘rinishda bo‘ladi. Giperbola asimptotalarga ega. Agar tekis chiziqning nuqtasi shu chiziq bo‘ylab harakatlanib borganida uning d to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofasi nolga intilsa, d to‘g‘ri chiziq egri chiziqning asimptotasi deyiladi.
; to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning asimptotalaridir (57-chizma).

57-chizma
Yarim o‘qlari teng bo‘lgan giperbola teng tomonli deb ataladi.
tenglamada bo‘lganda:
(11)
Teng tomonli giperbola asimptotalarining tenglamalari , ko‘rinishda bo‘lib, ular o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi. Bu asimptotalarni yangi koordinata o‘qlari sifatida qabul qilsak, teng tomonli giperbola tenglamasi o‘rta maktab kursida ko‘riladigan ixcham ko‘rinishni oladi.
Giperbolaning fokuslari orasidagi masofani haqiqiy o‘qining uzun­ligiga nisbati giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi va ellipsdagidek e harfi bilan belgilanadi:
;
Giperbolada c>a=>e>1 ekssentrisitet giperbolaning shaklini aniqlashda muhim rol o‘ynaydi. Haqiqatan ham e=c/a dan c=ea buni b²=c²-a² ga qo‘ysak, b²=a²(e²-1) yoki bo‘lib, bundan ko‘rinadiki, ekssentrisitet e qanchalik kichik, ya’ni e=>1 intilsa, b/a shunchalik kichik, b/a 0, ga intiladi, ya’ni giperbola o‘zining haqiqiy o‘qiga siqilgan bo‘ladi, aksincha, e kattalashib borsa b/a ham kattalashib, giperbola tarmoqlari kengayib boradi.