Koordinatalar sistemalariga oid masalalar I

4.2. Qutb koordinatalar sistemasi

Tekislikda biror nuqtani (kuzatuv nuqtasini) tayinlaymiz. Bu tayinlangan nuqtani harfi orqali belgilaylik. nuqtadan chiquvchi biror nurni tayinlab olamiz. Aytaylik, kuzatuvchiga nisbatan o‘ngga yo‘nalgan gorizontal nur tayinlangan bo‘lsin. Bu nurni orqali belgilaymiz. nurda birlik kesma ajratamiz. nurdan boshlab qo‘yiladigan burchaklarni qaraymiz. burchakning nurdan soat strelkasi harakatiga qarama-qarshi yo‘nalishda burilishi musbat burilish deb qabul qilinadi. Bunda burchakning oraliqdagi qiymatlari qaraladi (boshqacha aytganda, ning har qanday butun qiymatida burchak burchak bilan ayniylashtiriladi, ya’ni

, ).
YUqorida aniqlangan nuqta, birlik kesmasi ko‘rsatilgan nur va musbat burilishi aniqlangan burchakdan tashkil topgan sistema (tekislikdagi) qutb koordinatalari sistemasi deyiladi. Bunda nuqta qutb, o‘q qutb o‘qi, burchak qutb burchagi deyiladi.

Qutb koordinatalari sistemasi

nuqtaning qutb koordinatalari

kelishuvni e’tiborga olganda, tekislikdagi har bir nuqta o‘zining qutb koordinatalari orqali yagona usulda aniqlanadi. Aytaylik, tekislikdagi biror nuqtaning qutb koordinatalari , ya’ni bo‘lsin. Bu erda – qutb ( nuqta) dan nuqtagacha masofa, – qutb o‘qi ( o‘q) va o‘q orasidagi burchak. masofani nuqtaning qutb radiusi, burchakni nuqtaning qutb burchagi deyishadi. Bayon qilingan qutb koordinatlar sistemasi kabi belgilanadi.
Qutb koordinatalari bilan berilgan ikkita va nuqtalar orasidagi masofa
(2.1)
formula orqali hisoblanadi.
Tekislikdagi nuqtaning Dekart koordinatalaridan qutb koordinatalariga
, (2.2)
tengliklar orqali o‘tiladi.
Teskari o‘tish, ya’ni tekislikdagi nuqtaning qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o‘tish
, (2.3)
tengliklar orqali amalga oshiriladi.
(2.2) va (2.3) formulalar muhim ahamiyatga ega. Ular o‘zgaruvchilarni almashtirishning yaqqol misoli bo‘ladi va yoy uzunligini, egri chiziqli trapetsiya yuzasini, aylanish jismlarining sirti yuzasini hamda hajmini hisoblashda ishlatiladi.