Ko'phadlar. Algebraning asosiy teoremasi bezu teoremasi Reja

Yechish. Integral ostidagi funksiya kasr-ratsional funksiya bo’lib, u noto’g’ri kasrdir. Bu kasrning suratini uning maxrajiga bo’lib kasrning butun qismini ajratamiz:
–

Kasrning maxraji x⁵+2x³+x=x(x⁴+2x²+1)=x(x²+1)² ko’rinishdagi ko’pytuvchilarga ajralishini hisobga olsak

tenglikka ega bo’lamiz.
Endi to’g’ri kasrni 35.1-teoremadan foydalanib eng sodda ratsional kasrlarga yoyamiz:
= (35.4),
x²-1=A(x²+1)²+(Bx+C)x(x²+1)+(Dx+E)x=A(x⁴+2x²+1)+Bx⁴+Cx³+Bx²+Cx+
+Dx²+Ex=(A+B)x⁴+Cx³+(2A+B+D)x²+(C+E)x+A.
Bu yerdagi bir xil darajali x lar oldidagi koefitsiyentlarni tenglashtirib

sistemaga ega bo’lamiz. Sistemani yechib A=-1, B=1, C=0, D=2, E=0 ekanini topamiz. Noma’lum koefitsiyentlarning topilgan qiymatlari (35.4) ga qo’yib

tenglikni hosil qilamiz.
Shunday qilib

Demak,

bo’ladi.
Eslatma. Ba’zan ratsional kasrni eng sodda ratsional kasrga yoyishda aniqmas koefitsiyentlar usuliga murojat qilmasdan uni sun’iy ravishda eng sodda kasrlarga yoyish ham mumkin.
Buni bir necha misollar yordamida ko’rsatamiz.
5-misol. (a≠b) topilsin.
Yechish.

ayniyat to’g’ri ekanligini ko’rsatish qiyin emas. Demak,



Quyidagi integrallar ham xuddi shunday topiladi.
6-misol.

7-misol. .
8-misol.

9-misol.

10-misol.

11-misol.

12-misol.

13-misol.


14-misol.