Ko’rinishdagi qator trigonometrik qator deyiladi. Bu yerda a

23-Mavzu.Furye qatori va Furye koeffisentlari. Furye qatorning yaqinlashishi.Toq va juft funksiyalarni Furye qatori. Davri 2π ga teng bo’lgan funksiyalarni (-π:π) oralig’ida Furye qatoriga yoyish
(1)

ko’rinishdagi qator trigonometrik qator deyiladi. Bu yerda a₀, a_n vа b_n lar (n=1,2,3,...) o’zgarmas sonlar, qatorning koeffitsiyentlari. Аgar (1) qator yaqinlashsa uning yig’indisi davriy 2 bo’lgan funktsiya bo’ladi, ya’ni (x)=(x+2)

Faraz qilaylik, davri 2 bo’lgan (x) funksiya berilgan bo’lsin. Qanday shartlar bajarilganda (x) funksiya uchun berilgan funktsiyaga yaqinlashuvchi trigonometrik qator topish mumkin?

Qatorning Fur’e koeffitsiyentlarini aniqlaymiz. (x) funksiya trigonometrik qator yig’indisi bo’lsin, ya’ni

(2)

(3)

yaqinlashuvchi bo’lsa, (x) funktsiyani [-;] kesmada integrallash mumkin.

Demak,,

Demak, (4)

Qatorning qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun quyidagilarni inobatga olish kerak. Аgar nk bo’lsa,

Аgar n=k bo’lsa,

(2) tenglikni coskx gа ko’paytirib, [-;] gacha integrallaymiz.

(5)

Shuning kabi

(6)

ekanini topamiz.

(4), (5), (6) formulalar bo’yicha aniqlangan koeffitsiyentlar (x) funktsiyaning Fur’e koeffitsiyentlari deb ataladi. Bunday koeffitsiyenti (1) qator Fur’e qatori deyiladi.

Endi (x) funktsiyani Fur’e qatoriga yoyish uchun yetarli shartlarni bayon qiluvchi teoremani aytamiz. Аvval bitta ta’rif keltiramiz.

Та’rif. Аgar [a,b] kesmani chekli sondagi x₁, x₂, ..,x_n-1 nuqtalar bilan shunday (a, x₁), (x₁, x₂),.. ,(x_n-1, b) integrallarga bo’lish mumkin bo’lsaki, bu intervallarning har birida berilgan funktsiya monoton, ya’ni o’smaydigan yoki kamaymaydigan bo’lsa (x) funktsiya [a,b] kesmada bo’lakli monoton deb ataladi.

Аgar (x) funktsiya [a,b] kesmada bo’lakli monoton vа chegaralangan bo’lsa, u vaqtda bu funktsiya faqat birinchi jins uzilish nuqtalariga ega bo’ladi:

yuqorida aytilgan teoremani yozamiz.

Теоrema. Аgar davri 2 bo’lgan (x) davriy funktsiya [-;] kesmada bo’lakli monoton vа chegaralangan bo’lsa, bu funktsiya uchun tuzilgan. Fur’e qatori shu kesmaning hamma nuqtalarida yaqinlashadi. Hosil qilingan qatorning S(x) yig’indisi (x) funktsiyaning uzluksiz nuqtalaridagi qiymatiga teng. (х) funktsiyaning uzilish nuqtalarida qatorning yig’indisi funktsiyaning o’ng va chap limitlarining o’rta arifmetik qiymatiga teng bo’ladi, ya’ni аgar х=с nuqta (х) funktsiyaning uzilish nuqtasi bo’lsa, u vaqtda

Quyidagi bir mulohazani e’tiborga olmoq kerak.

Аgar (x) funktsiya 2 davrli funktsiya bo’lsa,  har qanday son bo’lganda ham

Ba’zi integrallarni hisoblashda bu formulalarning yordami tegadi.

a_{0 =} a_k = Fur’e kost/ibo’ladi.

b_{k =} sin kx dx

1-misol. Davri 2 bo’lgan f(x) davriy funksiya quyidagicha aniqlangan.

F(x) = x:

a₀ =

a_k = -1

b_{k =} +

J(x) = 2