Ko`rsatkichli funksiyalar xossalari va grafigi. Ko`rsatkichli tenglama

THAME

Agzamxo’djayeva M.SH
Mavzu:Ko'rsatkichli funksiyalar xossalari va grafigi. Ko'rsatkichli tenglama.

TIIAME

2- misol. Taqqoslang;


Daraja va lining xnssabri
Haqiqiy sen kt/rsatkichb darajaquyidagi xossalaiga ega(a>0, д/l): 1) a’-ar=a**K 2) а^я:а^г-=а^; 3)(д*у=д^;
4)(a-b)'=a*-6*; 5) ("Y_—■
6) agar 0_t 7) agar 0<д<Ь va jt<0 bo^Llsa_h
S) agar$д>1 boMsa, л^л<д^'; 9)agarzд^я>д>'
bc'ladi.
Jh jh£to£ Taqqoslangr 27^ va 3"^.


A 9- xossaga ko'ra 0,2<0,3 va 0 < — < 1 Wlgani uchun
A 7- Kos&aga kefra C<2<3 va —^3 < 0 bo‘lgani uchun 2“^ > Ж


Ko*rsatkidili funksiya va lining xossalari
f(x)=a*, a>0, a fl Wrinishdagi funksiya Wrsatkichli funksiya deyiladr
Bunday funksiya quyidagi xossalarga ega:

1. 
   aniqlanish sohasi (—co; +□&) oraliqdan iborat;
   
2. 
   qiymatlar sohasi (0; +°o) oraliqdjm iborat;
   

3)barcha а(д>0, whune^l!-l;

4. 
   a>l htflsa, funksiya o'suvchi;
   
5. 
   0<д<1 btflsa, funksiya kamayuvchidir.
   

Quyidagi rasmlarda^Jt) =лг^л funksiyaning grafiklari kekirilgan.

Ko’rsatkichli funksiya va uning xossalari. a > 0, a # 1 bo’lsin. f(x) = ax tenglik bilan aniqlangan funksiya a asosli ko‘rsatkichli funksiya deyiladi. Bu funksiya barcha haqiqiy sonlar to’plamida aniqlangan, D(f ) = R, chunki a > 0 bo’lganda ax daraja barcha x E R
uchun ma’noga ega. x ning istalgan haqiqiy qiymatida a^x > 0 bo'lgani
uchun va ixtiyoriy b > 0 sonda ax = b bo'ladigan birgina xER soni mavjud bo'lgani uchun E(f ) = R + bo'ladi.


X o s s a l a r i :
1) a > 1 bo’lsa, f(x) = ax funksiya R da o’sadi. 0 < a < 1 bo’lsa, f(x) = ax funksiya R da kamayadi.
I s b o t . a > 1 holni qarash bilan cheklanamiz. a > 1 va а < p bo’lsin, bu yerda a, p sonlari ixtiyoriy haqiqiy sonlar. U holda
в - a > 0, a > 1 bo’lgani uchun a^e-^а > a⁰yoki a^{p -а} > 1 tengsizlikka ega bo’lamiz. Bundan, a^{p -а}*a^а > 1*a^аyoki a^p > a^a hosil bo’ladi. Demak, a < p dan a^а < a^p ekani kelib chiqadi. Bu esa ax funksiya o’suvchi ekanligini bildiradi.
Ko’rsatkichli tenglamalar. ax = b (a, beR)
tenglama eng sodda ko‘rsatkichli tenglamadir, bu yerda a > 0, a Ф 1. Ko’rsatkichli funksiyaning qiymatlar to’plami (0; +w) oraliqdan iborat bo’lgani uchun b < 0 bo’lganda qaralayotgan tenglama yechimga ega bo‘lmaydi. Agar b > 0 bo‘lsa, tenglama yagona yechimga ega va bu yechim x = log_ab sonidan iborat bo’ladi
T e o r e m a . Agar a > 0, a Ф 1 bo‘lsa, a f ⁽x) = agx) (i)
va f(x) = g (x) (2)
tenglamalar teng kuchlidir.


I s b o t . Agar a soni (2) tenglamaning ildizi bo’lsa, f(a) = =g(a) bo’ladi. U holda, a^{f (a)} = a ^g(a). Aksincha, a (1) tenglamaning ildizi bo‘lsa, a ^{f (a)} = a ^g(a) va a^xfunksiyaning monotonligidan f(a) = g(a) bo‘ladi. Teorema isbot qilindi.


1- mi s о 1. S⁵^^{2 46} = S²⁽ * ^1,1 teoglamani yecliing.
Ye c hisli. Tenglama (1) ko'rimslida berilgan. Unga teng kiichli (2) ko‘rinisliga otamiz: 5л² - 46 = 2(x² + 1), bnndan л=-4, x= 4 aniqlanadi.
Agar tenglama
(3)
(bu yerda a > 0, л * 1, b > 0, b *0) ko‘riiiishda bo'lsa, ^г(х) = _й1<>йа = fl^bga* ekanidan foydalanib, tenglamani
= ^g(x) Iqgff b
ko^Lrinishga keltiramiz. Buiidan unga teng kuclili /(x) =
tenglamaga o’tiladi.


TIIAME


2-misol. 5^{3л 1} = 3x tenghmam yecliamiz.
Yechish. 5³*^-1 = 5^т1о->³ 3x -1 = xlog, 3 => л = -
3-Jog₅ 3
Agar tenglania Д^) = 0 ko'rinislida bo¹ Isa. a^x = t alniasli- tirish orqali/(r) = 0 tenglamaga o^ltiladi. Har vaqt a^x> 0 boigani uchunДг) = 0 tenglanianing niusbat ildizlarigina olimdi, so^lng a^x=r boglanish yordaniida berilgan tenglama ildizlari topiladi.
3- in i s о 1. 4^Л + 2^Л - 6 = 0 tenglaniani yeclianiiz.
Ye c h i s li. I^х = f ahiiaslitirisli (2*)² + I^х - 6 = 0 tenglaniani 1- 6 = 0 kvadrat tenglamaga keltiradi. Uning yecliimlari r= -3, t=l. Musbat yecliim bo'yiclia I^х = 2 ni nizamiz. Bn nd an x = 1.