Koshi masalasining ko’p qadamli ayirmali metodlar

Ko’p qadamli ayirmali metodlarning turg’unligi, yaqinlashishi va xatoligini baholash.

Bu bandda m ni belgilab, qulaylik uchun a_mi  a_i , b_mi  b_i deb yozamiz. U holda
(1.2) va (1.4) tengliklar mos ravishda quyidagicha yoziladi:
m m

y_n  _a_i y_ni  h_b_i f_ni ,
(1.51)

ux
i1 i0
  m a ux   m     hr ,

(1.52)

n ^ i i1
ni
h_b_i f
i0
^xni ^,
xni
n1

bunda
^rn1
(1.1) differensial tenglamani approksimasiyalashdagi xatolik bo’lib,

approksimasiya tartibi p bo’lsa, ya’ni (1.9) shart bajarilsa,

bo’ladi.
^rn1

 0h^p 

Tabiiyki, (1.1) Koshi masalasini (1.51) taqribiy formula bilan topishda hisoblashning har bir qadamida xatolikka yo’l qo’yiladi. Bu xatoliklar uch omilga bog’liq. Birinchidan, dastlabki (1.1) differensial tenglama (1.51) chekli-ayirmali tenglama orqali muayyan aniqlik bilan almashtirilgan va bunday almashtirishning
miqdori r_n (1.52) tenglik bilan aniqlanadi. Ikkinchidan, (1.51) formula bo’yicha

hisoblash muayyan aniqlikda olib boriladi va yaxlitlash xatoligi tenglikdan aniqlanadi:
^n1
quyidagi

^~y 
^m a ^~y  m 
^~    ,
(1.53)

~
n ^ i i1


ni
h_b_i f
i0
^xn1 ^{, y}ni
n1

bunda y _n
miqdor
y_n ning amalda (1.51) formula yordamida hisoblangan qiymati.

Uchinchidan,
i  m, m 
 _{ } X  x_{0 }

bo’lganda taqribiy yechimning




1,...,N N
_{ } h
_ 

xatoligi 
 ux   ^~y jadvalning boshi y_i  ^~y i  0,1,...,m 1ni ko’rayotgandagi

i i i i

_i  ux_i   ^~y _j i  0,1,...,m 1 xatolikllarga bog’liq.
Endi (1.53) tenglikni (1.52)dan ayirib, taqribiy yechimning xatoligi  _n
quyidagi ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz:

uchun

m
  a 
 m  
^~  
  f x
, ^~y
 hr
  ,
(1.54)

_n 
i1
i ni
h_b_i f
i0
^xni ^{, y}ni
ni
ni
ni
n1
n1

bunda
n  m,m  1,...,N
qiymatlarni qabul qiladi.

Yuqoridagi (1.54) ayirmali tenglama chiziqli bo’lmaganligi uchun taqribiy yechim xatoligini tekshirish mushkuldir.
Hisoblash amaliyotida, odatda, taqribiy yechimning xatoligini hosil qilishda yuqoridagi omil ham qatnashadi.
Odatga kora, bir aniq yechimga yaxshi yaqinlashishimiz uchun to’r qadamini

kichraytirib borishimiz kerak. Qadamning kichraytirilishi esa
n_ n  ^{xn  x0 } ning




 ^h 
ortib borishi bilan bog’liq- bu esa ko’p miqdordagi qadamlar uchun hisoblashni

bajarishni talab qiladi; qadam belgilangan bo’lib, x nuqta dastlabki
x₀ nuqtadan

uzoq masofada turganda ham shunga o’xshash holat paydo bo’ladi. (1.51) formulani ko’p martalab qo’llaganda xatolik to’planib, umuman olganda, xatolikning miqdori qadamdan qadamga ortib boradi. Qadamning soni oshgan sari bu xatoning o’zgarish qonunini bilish katta ahamiyatga ega. Bu qonun esa dastlabki differensial masalaga hamda tanlangan(1.51) hisoblash qoidasiga bog’liqdir. Agar (1.51) hisoblash qoidasi nomuvofiq tanlangan bo’lsa, taqribiy yechim xatoligining o’sishi shuncha tez bo’lishi mumkinki, qadamlarning soni uncha katta bo’lmasa ham, bu xatolik ruxsat etilgan chegaradan xhiqib ketishi mumkin. Xatoligi shunday qonun bilan o’sadigan (1.51) hisoblash qoidasi noturg’un deyiladi. Bunday qoidalar katta sondagi hisoblashlar uchun yaramaydi.

1. 
   ta’rif. Agar qoida bo’yicha topilgan taqribiy yechim h  0 da dastlabki
   

masalaning aniq yechimiga yaqinlashsa, mazkur hisoblash qoidasi turg’un deyiladi.
Endi (1.51) hisoblash qoidasi turg’un bo’lishi uchun uning koeffisentlari qaysi shartni qanoatlantirishi kerakligini ko’rib chiqamiz.

Faraz qilaylik, Oxy tekisligida shunday D soha mavjud bo’lsinki, u quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1. 
   (1.1) Koshi masalasi aniq yechimining grafigi shu sohada yotsin;
   
2. 
   Har bir yetarlicha kichik h uchun (1.52) formula yordamida topilgan yechim ham shu sohada yotsin;
   
3. 
   bu soha Oy o’qi yo’nalishi bo’yicha kavariq bo’lsin, ya’ni Oy o’qiga
   

parallel bo’lib, chetki nuqtalari D da yetuvchi har qanday to’g’ri chiziq D da yotsin.

f x, y
y

funksiya shu sohada uzluksiz bo’lib,

f x, y _{ L}
y

shartni qanoatlantirsin.

f x
Shu shartlar bajarilgan deb, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:
 _n ni baholaymiz. Lagraj formulasiga ko’ra

bu yerda

n j
,^~y


n j
_{n j} 



f x
n j
, ^~y


n j
 l
n j^
n j ^,
(1.55)


^ln j ^ _y
f x


n j
, ^~y


n j
 _{n j}
n j ^,
0  


n j
 1.

Endi (4.55)ni (4.54)ga qo’yib,  _n uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
m m

_n  _a_i_ni  h_b_il
ni
^ni ^{ hr}n1 ^{ }n1^.
(1.56)

i1 i0

Bu ayirmali tenglamada
b_i i  0,1,...,m
koeffisentlar oldida h ko’payuvchi bo’lib

turibdi, shuning uchun kutish mumkinki, h yetarlicha kichik bo’lganda taqribiy

yechim xatosining raftoriga * bo’ladi.
Endi
b_i larning ta’siri


m
a_i i  0,1,...,mlarga nisbatan kamroq

^qn ^{ hb}i^lni ^εni ^{ hr}n1 ^{ a}n1
i0
deb belgilab olib, (1.56) tenglikni
(1.57)

ko’rinishda yozib olamiz.



^εn ^{ a}i ^εni ^{ q}n
i1
(1.58)

Tenglamaning yechimini
m1 _{~i }


^{n ~}m

ε_n  _ A_n

n
i0
^εi ^{  A}nm j
im
(1.59)

ko’rinishda yozishimiz mumkin. Bunda qatnashadigan tenglamaga mos keldigan
Г ^{i }i  0,1,...,m 1 ayirmali

m
^εn ^{ a}i ^εni
i1
bir jinsli chiziqli-ayirmali tenglamaning fundamental yechimlar sistemsini tashkil etadi.Demak, ular bu tenglamaning boshqa fundemental yechimlar sistemasi

i
λⁿn ^j  j  0,1,...,k_i 1;i 1,2...,dan maxsusmas matrisali almashtirish natijasida

hosil qilinadi, bu yerda l₁,l₂ ,...,l_q
sonlar ushbu

m
A λ  λ^m  _a_j λ^{m j}  0
j1
(1.60)

 ^q 

Xarakteristik tenglamaning karraligi mos ravishda
k₁, k₂ ,...,k_q
^_k_i  m^

 ^i1 

bo’lgan ildizlaridir. Ko’rinib turibdiki,
n da Г ^{i }i  0,1,...,m 1

n

i
funksiyalarning raftori λⁿn ^j j  0,k_i 1,i  l,q
funksiyalrning raftori bilan

aniqlandi. Endi (1.57)dan
q_n ning qiymatini (1.59)ga qo’yib, quyidagi hosil qilamiz:

ε  m1 Г ^{i } ε h n
Г ^m b l
ε  n1 Г ^m hr
 α.
(1.61)

n ^ n i i0

jm
nm j
i ji
ji

jm
nm j j j

Bu tenglikda
^εji
oldidagi koeffisentlarni yig’ib, uni boshqacha ko’rinishda

yozamiz. Buning uchun
s  j  i
deb olamiz, u holda
m  j  n,0  i  m bo’lganligi

uchun
0  s  n
bo’ladi. Endi s ni belgilab olib,
hε_sl_s
oldida turgan
m

b

Г
nm j i

koeffisentlarni yig’amiz. Bu yerda
i  j  s
va m 
j  n
bo’lganligi uchun

m  s  i  n  s
bo’ladi. Ikkinchi tomondan esa
0  i  m. Shuning uchun ham

max0,m  s i  minm,n  s
bo’lib,
hεl
oldida
min m,ns 
_{b Г} m
koeffisent

s s ^ i
imax 0,ms 
nmis

turadi. Demak, (1.61) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

_ m1 _{Г s }
n

• 
  h l
  

min m,ns 
_{b Г} m
 n1 Г ^m hr  ,
(1.62)

^εn ^
s0
n ^εs

s0
s ^εs
^ i
imax 0,ms 
nmis

jm
nm j
j ^αj

bunda
m  n  N
Endi (1.62) tenglikning o’ng tomonida _n

qatnashadigan hadni ajratib

yozamiz:


hl_nε_n

min m,0




b_i Г ^m  hl εb Г ^m.

mi n n 0 m
imax 0,mn
Bu hadni (1.62) tenglikning chap tomoniga ko’chiramiz va avvalgi
ε₀ , ε₁,...,ε_m1

xatoliklar qatnashadigan hadlarni alohida yozamiz. Natijada (1.62) tenglik quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

1  hl b
Г ^m ε  m1^Г ^{s }  hl
min m,ns 
_{b Г} m
^ ε 

n 0 m
^{n } ^{n s0} 
s ^
ims
^{i nm js}  ^s


(1.63)

n1

• 
  h l
  

min m,ns  _{b Г m}

• 
  n1 Г ^m hr
  

 α.