Koshi masalasining ko’p qadamli ayirmali metodlar

Masalaning qo’yilishi. Bu bandda

du _
dx
^f  ^x,u ^,u ⁰ ^{ u0}
(1.1)

Koshi masalasini yechish uchun qadami
h  x_j  x_j1 doimiy bo’lgan

to’rni kiritamiz va _h

^{h }^{xn  nh;n  0,1,2,...}
to’r ustida aniqlangan funksiyalarni


^{yn  u} ^xn ^{, fn } ^{xn, yn} 

orqali belgilaymiz. Biz bu yerda Koshi masalasini m - qadamli ayirmali metodlar bilan taqribiy yechishni ko’rib chiqamiz. Bu metodlar orasida keng qo’llaniladiganlari

^yn ^{ a}mi ^yni ^{ hb}mi ^fni
(1.2)

i1
munosabat bilan aniqlanadi, bu yerda
^ami
i0
va b_mi lar n ga bog’liq bo’lmagan

koeffisientlar. Bu metodlar chiziqli-ayirmali metdolar yoki chiziqli-ayirmali

sxemalar deyiladi. (1.2) tenglamalrga
y_n ni oldin topilgan
y₀ , y₁,..., y_n1
qiymatlar

m m
orqali ifodalanadigan rekurrent munosabatdek qarash kerak. Hisob n  m dan, ya’ni
^ym ^{ a}mi ^ymi ^{ hb}mi ^fmi il i0
tenglamadan boshlanadi. Bundan ko’ramizki, hisobni boshlash uchun m ta

y₀ , y₁,..., y_m1
dastlabki qiymatlarni ko’rsatmoq kerak. Bu yerda
y₀  u₀

boshlang’ich shartdan topiladi, qolgan
y₁, y₂ ,..., y_m1 larni esa boshqa metodlar,

masalan, Runge-Kutte metodi yordamida topish mumkin. Keyingi mulohazalarda
y₀ , y₁,..., y_m1 dastlabki qiymatlar berilgan, deb faraz qilamiz.
Agar b_m  0 bo’lsa, u holda (1.2) metod oshkor yoki ekstrapolyasion deyiladi,

bu holda
y_n oshkor ravishda
^ynm ^{, y}nm1^{,..., y}n1
orqali ifodalanadi. Agar
b_m0  0

bo’lsa, u holda metod oshkormas yoki intepolyasion deyiladi. Bu yerda y_n
^{yn  bm0hf} ^{xn, yn}  ^{ Ф} ^{ynm, ynm1,..., yn1} 

m

chiziqli bo’lmagan tenglamadan topiladi, bunda
^{Ф y}nm ^{, y}nm1^{,..., y}n1 ^{  a}mi ^yni ^{ hb}mi ^fni ^
i1

n
odatda, dastlabki yaqinlashish metodi bilan yechiladi.
_y⁰ _ni
^yn1
ga teng deb olib, bu tenglama Nyuton

Hisoblash amaliyotida (1.2) ko’p qadamli metodlarning xususiy holi bo’lgan

Adams metodlari keng tarqalgandir. Bunda
u^_ x_
faqat
^xn1 ^{va x}n
ikki nuqtaga

ko’ra approksimasiya qilinadi, ya’ni
a_m1 1,a_mi  0,l  2,3,...,m.

Shunday qilib, Adams metodlri
m

^yn ^{ y}n1 ^{ hb}mi ^fni
i0
(1.3)

ko’rinishga ega. Agar
b_m0  0
bo’lsa, Adams metodlari ekstrapolyasion bo’lib,

b_m0  0
bo’lganda esa interpolyasiondir.

Keyinchalik (1.2) ayirmali metodlarni o’rganishdam
^ami
va b_mi
koeffisientlar

tanalanishining approksimasiyaning xatoligiga va turg’unlik hamda yaqinlashish masalasiga ta’sirini ko’rib chiqamiz.

2. 
   Ko’p qadamli metodlardagi approksimasiyaning xatoligi. Differensial tenglama yechimini approksimasiyalashdagi xatolik yoki (1.2) ayirmali sxemaning bog’lanishsizligi deb
   

_ 1 
^{r u}  ^x
 ^ _
^{a u}  ^x
^{ } _m
b f _x
,u _x _
(1.4)

n1
_h _
n mi ni _

m
i1


i0
mi ni ni


miqdorga aytiladi.
Ta’rif. Agar


h  0 da



1
r  _max r_n  0
x₀ x_n x₀  X

munosabat o’rinli bo’lsa, m -qadamli sxema _x₀ , x₀  X _
masalani yechimda approksimasiya qiladi deyiladi.
oraliqda differensial

Biz hozir
^ami
va b_mi
koeffisientlarga bog’liq ravishda
h  0 da approksiya

tartibini aniqlaymiz.
Faraz qilaylik, qaralayotgan funksiyalar kerakli silliqlikka ega bo’lsin. Endi
f _x_ni ,u _ x_{ni }  u^_x_{ni } va x_ni  x_n  ih ekanligini eslab, x  x_n nuqtada Teylor formulasiga ko’ra

^uni ^{ }
k 0
_ih_k u^k _ x

n
k !
^  0_h^p1 _,

^p1 _ih_k 1 u^{k } _ x _

^f  ^{x ,u}
 ^ _
ⁿ  0_h^p _,i  1, 2,..., m

ni ni


k 1
_k !_

p
tengliklarga ega bo’lamiz. Bu ifodalarni (1.4) ga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz:

1

^{r  u}  ^x

 ^ _^a
_ih_k
^uk  ^x  ^

n1
h _
m
n mi

m
i1
_{p1 ih}k 1
k 0 ^k!

n


h_b _
u^k  _{ x}



 ^{ 0}_^hp _ ^

i0
mi
k 1
_k  1_! _

_ 1  ^m 


^p _h^{k 1} _ m _k

_{h }^{1 } _^ami _^u  ^xn  ^ _{
k! }i_
a_mi 

 i1 
m1
 i1

m
_k _i_k 1 b
^ _u^k  _{ x
}  0_h^p _ 

i0
_ A
mi _
p _h^{k 1}
n



n
^{k } p

n k

h
^{0 u}  ^x  ^ _ ^{A u}
_ x _  0_h _,

k 1 ^k!
bu yerda
^{m m} k 1

A_n  1  _a_mi ,A_k
i1
^ _^{iami  kbmi} ^i
i0
,k  1, 2,..., p.

Qulaylik uchun quyidagi lemmada


deb olamiz.
^a m0
1,a^
mi ^{ a}mi
,i 1,2,...,m
(1.5)

Lemma. Faraz qilaylik, u _ x_
ixtiyoriy silliq funksiya bo’lsin,

m

mi
lim^

a^ u _ x  ih_ h
^{ u} ^x^,

^h0 i0
m
(1.6)

_limb_mi f _x  ih,u _ x  ih_ 
f _x,u _ x_

^h0 i0

munosabatlar o’rinli bo’lishi, ya’ni (1.2) ayirmali sxema (1.1) tenglamani approksimasiya qilishi uchun

A₀  A₁  0,b_m0  b_m1  ...b_mm 1
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Teylor formulasiga ko’ra
u _ x  ih_  u _ x_  ihu^_ x_  0_h² _,
(1.7)

f _x  ih,u _ x  ih_  f _x,u _ x_  0_h_.

Bu ifodalarni (1.6)ning chap tomoniga qo’yib, quyidagilarga ega bo’lamiz:

_m


a ^{ m
mi u}  ^x ^ _


^a ^i^u ^x ^{ 0}^h^{  u} ^x^,

lim_^ _h ^{ mi} _

h0
_ i0
_ i0 _

_ ^m _ 

_limb_{mi } f _x,u _ x_  0_h_ 
f _x,u _ x_.

^h0 _ i0  _

Bu munosabatlar o’rinli bo’lishi uchun

m m m

mi mi mi
_a^  0, _ia^  1,_b  1

yoki (1.5)ga ko’ra

i0
i0
i0

1  _a_mi  0,_ia_mi  1,_b_mi  1
(1.8)

i1
i0
i0

m m m

tengliklarning o’rinli bo’lishi zarur va yetarlidir. Endi


A₀  1  _a_mi ,A₁  _ia_mi  _b_mi

i1
i0
i0

tengliklarni hisobga olsak, (1.7) tenglik, demak, lemmaning isboti kelib chiqadi.
Agar

bo’lsa, u holda
A₀  A₁  ...  A_p  0
(1.9)

^rn1
 0_h^p _

bo’ladi va (1.2) sxema p-tartibli approksimasiyaga ega deyiladi.

Osonlik bilan ko’rish mumkinki, agar
u _ x_
funksiya p -darajali ko’phad

bo’lsa, u holda (1.9) shartlar bajariladi va
r_n1  0
bo’ladi. Demak, bu holda (1.2)

ayirmali sxema barcha p -darajali ko’phad uchun aniq tenglikka aylanadi. Umid

qilish mumkinki,
u _ x_ ning yechimi p -darajali ko’phadlar bilan yaxshi

yaqinlashadigan (1.1) differensial tenglamalar uchun r_n
yetarlicha kichik bo’ladi.

ushbu

Shuni ta’kidlash kerakki, (1.9) shartlar

a_mi ,b_{mi }i  0,1,...,m_larga nisbatan

m m

_^{a  1,}_^ik1 ^{ia  kb}
 ^{ 0, k  1, 2,..., p}
(1.10)

mi mi mi
i1 i0


2m  2 ta noma’lumli chiziqli algebraic tenglamalar sistemasini tashkil etadi. Endi (1.8)ni e’tiborga olib, (1.10)ni boshqacha yozishimiz mumkin. Natijada ushbu 2m ta noma’lum p ta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:


m m

_^{ia  1,}_^ik1 ^{ia  kb}
 ^{ 0, k  2,3,..., p}
(1.11)

^bm0
koeffisent esa
mi mi mi
i1 i0

b_m0  1  _b_mi
i1

formula yordamida topiladi. (1.10) sistema ortig’I bilan aniqlangan bo’lmasligi

uchun
p  2m
deb talab qilamiz. Bu talab shuni bildiradiki, m -qadamli ayirmali

metodlar approksimasiyasining tartibi 2m dan oshmaydi.
Shunday qilib, approksimasiyaning erishishi mumkin bo’lgan eng yuqori
^{tartibi oshkormas hol m -qadamli metodlar uchun 2m bo’lib, oshkor} ^{bm0  0} ^hol uchun 2m 1dir.

m
_i^kb
 ¹ , k  1, 2,..., p  1,b
 1  _b .
(1.12)

i1
^mi k  1
m0 mi

m
i1

Bu sistemaning determinanti Vandermond determinanti bo’lib, i har xil qiy,at qabul qiladi, shuning uchun ham bu sistema ixtiyoriy m uchun yagona yechimga ega.

Bundan ko’ramizki, Adamsning m -qadamli metodida approksimasining eng
yuqori tartibi oshkormas hol uchun m  1 bo’lib, oshkor _b_m0  0_ hol uchun m dir.

3.