Кўп ўлчовли регрессия ва корреляция

7.4. Ko’p omilli regressiya tenglamasining parametrlarini
baholash
Ko’p omilli regressiya tenglamasi parametrlari juft regressiyadagi kabi EKKU bilan aniqlaniladi. EKKUni qo’llab normal tenglamalar tizimi hosil qilinadi. Normal tenglamalar sistemasining echimi regressiya parametrlarini baholash imkonini beradi. Ushbu
(7.1)
regressiya tenglamasi uchun normal tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishdan iborat:
(7.2)
Sistemani determinantlar usuli bilan echib uning parametrlarini quyidagicha topish mumkin:

bu erda:
(7.3)
normal tenglamalar sistemasining determinanti;
xususiy determinantlar, ular (7.3)ning mos ustunlariga (7.2) sistemaning o’ng tomonini almashtirish orqali hisoblanadi.
Natijaviy belgi va omil belgilarning berilgan qiymatlari asosida parametrlarning qiymatlarini topib (7.1) regressiya tenglamasiga qo’ysak aniq iqtisodiy xodisaning ko’p o’lchovli regressiya tenglamasini olamiz.
Ko’p o’lchovli regressiya parametrlarini aniqlashning boshqacha usuli ham mavjud. Bu usulda juft korrelyatsiya koeffitsientlari matritsasi asosida standartlashgan masshtabda quyidagi regressiya tenglamasi tuziladi:
(7.4)
bu erda, -standartlashgan o’zgaruvchilar, regressiyaning standartlashgan koeffitsientlari.
Ular quyidagicha aniqlaniladi:
.
Ushbu parametrlarning o’rtacha qiymatlari nolga teng ( ), o’rtacha kvadratik chetlanish esa birga teng ( ).
Standartlashtirilgan mashtabdagi ko’p omilli regressiya tenglamasiga EKKU ni qo’llab, mos o’zgartishlarni kiritgandan so’ng quyidagi ko’rinishdagi normal tenglamalar tizimini olamiz:

Ushbu tizimni determinantlar usulida echib regressiyaning standartlashtirilgan koeffitsientlari ni topamiz.
Standartlashtirilgan regressiya koeffitsienti - agar faktor boshqa faktorlarning o’rtacha darajasi bir sigmaga o’zgarsa natija o’rtacha qancha sigmaga o’zgarishini ko’rsatadi.
Barcha o’zgaruvchilar markazlashgan va normallashtirilgan holda berilganligi uchun regressiyaning standartlashtirilgan koeffitsientlari - larni taqqoslash mumkin. Ularni taqqoslab faktorlarni natijaga ta’sir kuchi ranjirlash mumkin. Standartlashtirilgan regressiya koeffitsientlari bir-biri bilan taqqoslash imkoniyati bo’lmagan “toza regressiya”dan shunisi bilan afzallikka ega.
Misol. Ishlab chiqarish harajatlari funktsiyasi quyidagi tenglama bilan ifodalangan bo’lsin (mln. so’m):

bu erda: -asosiy ishlab chiqarish fondlari (mln.so’m);
-ishlab chiqarishda band bo’lganlar (kishi).
Tenglamani tahlil qilib, ishlab chiqarishda band bo’lganlar soni o’zgarmagan holda asosiy ishlab chiqarish fondlarining qiymati 1 mln. so’mga ortishi, harajatlarni o’rtacha 1,2 mln. so’mga ko’payishiga, ishlab chiqarishda band bo’lganlarning soni bittaga ortishi, korxonaning texnik jihozlanganligi o’zgarmagan holda harajatlarni o’rtacha 1,1 mln. so’mga o’sishiga olib kelishini ko’rish mumkin. Ammo omil omilga nisbatan ishlab chiqarish harajatlariga ko’proq ta’sir qilishini anglatmaydi. Faraz qilaylik shu masala uchun standartlashtirilgan regressiya tenglamasi quyidagicha bo’lsin:

Bu tenglama faktor bir sigmaga o’zgarganda band bo’lganlar soni o’zgarmaganda mahsulotga harajatlar o’rtacha 0,5 sigmaga o’zgarishini anglatadi. munosabatni e’tiborga oladigan bo’lsak, oddiy regressiya tenglamasidagi kabi mahsulot ishlab chiqarishga omil emas ko’proq omil ta’sir etadi deb hulosa qilish mumkin.
Regressiya tenglamasining regressiya koeffitsienti bilan standartlashtirilgan regressiya koeffitsienti orasida bog’liqlik mavjud bo’lib, u quyidag ko’rinishga ega:
(7.5)
bu erda: .
Ushbu (4.5) formula standartlashtirilgan masshtabdagi regressiya tenglamasi (4.6)dan
(7.6)
o’zgaruvchilari natural masshtabdagi (7.7) regressiya tenglamasiga o’tish imkoniyatini beradi,
(5.7)

Bundan parametr quyidagicha aniqlaniladi:

Standartlashtirilgan regressiya koeffitsientining ma’nosi shundan iboratki u modeldan ning qiymatlariga qarab eng ahamiyatsiz omillarni chiqarib tashlash imkoniyatini beradi.