Кўп ўзгарувчили функция. Аниқланиш соҳаси. Лимити. Узлуксизлиги. 1- тартибли хусусий хосилалар

y
x
0
1-Мисол: Ушбу функциянинг
аниқланиш соҳасини топинг.
Шундай қилиб нуқтанинг - атрофи бу марказли радиусли доиранинг ичида ётувчи барча нуқталардир.
0
y
x
Таъриф Агар икки ўзгарувчининг
нуқтанинг бирор атрофида аниқланган бўлса ( нуқтанинг ўзида аниқланмаган бўлиши ҳам мумкин) ва агар шундай
Учун топилсаки, тенгсизликни қаноатлантирувчи Р(х, у) нукталар учун
ёки
тенгсизлик бажарилса А ўзгармас сон
функциянинг нуқтадаги лимити дейилади.
Агар А сони функциянинг Р(х, у) даги лимити бўлса, у қуйидагича ёзилади:
ёки
Агар бир неча ўзгарувчи функциясининг лимити нолга тенг бўлса, у ҳолдда у чексиз кичик деб аталади.
Таъриф: функция
нуқтада ҳамда унинг атрофида аниқланган ва
(1) бўлса, яъни функциянинг
нуқтадаги лимити функциянинг шу нуқтадаги қийматига тенг бўлса, у ҳолда бу функция нуқтада узлуксиз дейилади. Узлуксизлик шартлари бажарилмаган нуқталар узилиш нуқталари деб аталади.
Функциянинг хусусий ҳосилалари
Графиги бирор сиртдан иборат бўлган икки ўзгарувчининг функциясини
қараймиз.
х ўзгарувчига Р(х, у) нуқтада орттирма берамиз, у ўзгарувчини эса ўзгаришсиз қолдирамиз. нуқтани ҳосил қиламиз. Р ва Р1 нуқталарга сиртда ва
нуқталар мос келади, бу ерда
(шакилда бу кесма). У ҳолда
ёки
Айрма функциянинг Р(х, у) нуқтадаги х ўзгарувчи бўйича хусусий орттирмаси дейилади.
Шунга ўхшаш y буйича хусусий орттирма

каби ёзилади (шакилда бу ).
ёки
Ниҳоят, иккала х ва у ўзгарувчи мос равшда
ва орттирма олсин. У ҳолда Р(х, у) нуқта нуқтага ўтади, бу нуқта сиртда нуқтага мос келади, бу ерда .
Ушбу:
ёки
Функциянинг нуқтадаги тулиқ орттирмаси дейилади ( , шаклда бу кесма)
Агар
лимит мавжуд бўлса бу лимит
функциянинг нуқтадаги х ўзгарувчи бўйича хусусий ҳосиласи дейилади.
Агар
лимит мавжуд бўлса бу лимит
функциянинг нуқтадаги y ўзгарувчи бўйича хусусий ҳосиласи дейилади.
Хусусий ҳосилалар қуйдагича белгиланади: