Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари

3⁰. Хусусий ҳоллар. бўлсин. бу ҳолда функциянинг локал экстремумлари, экстремумнинг зарурий ва етарли шартлари каби тушунча ва тасдиқларга келамиз. Улар 25-маърузада баён этилган.
бўлсин. Бу ҳолда икки ўзгарув-чили функциянинг локал экстремум тушунчалари юзага келиб, бу ҳол учун уларнинг таърифлари қуйидагича бўлади.
Айтайлик, функция тўпламда берилган бўлиб, бўлсин.
Агар шундай сон топилсаки, бўлиб, учун

бўлса, функция нуқтада локал минимумга (локал максимумга) эришади дейилади. нуқта функциянинг локал минимум (максимум) нуқтаси, миқдор эса функциянинг минимум (максимум) қиймати дейилади.
Агар шундай сон топилсаки, бўлиб, учун

бўлса, функция нуқтада қатъий локал минимумга (қатъий локал максимумга) эришади дейилади.
1-мисол. Ушбу

функциянинг нуқтада қатъий максимумга эришиши кўрсатилсин.
◄ сонни олиб, нуқтанинг атрофини ҳосил қиламиз. Унда учун

бўлади. Демак, берилган функция нуқтада максимумга эришади.►
Агар функция нуқтада локал экстремумга эришса ва шу нуқтада

хусусий ҳосилаларга эга бўлса, у ҳолда

бўлади.
Бироқ, функциянинг бирор нуқтада хусусий ҳосилалари мавжуд бўлиб, улар шу нуқтада нолга тенг бўлса, қаралаётган функция нуқтада экстремумга эришмасдан қолиши мумкин. Масалан,

функция

хусусий ҳосилаларга эга бўлиб, улар нуқтада нолга тенг:

бўлса ҳам, бу функция нуқтада экстремумга эришмайди (функция графиги-гиперболик параболоидни тасаввур қилинг).
Айтайлик, функция нуқтанинг бирор атрофида берилган бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:

1. 
   функция да узулксиз ва узлуксиз хусусий ҳосилаларга эга,
   
2. 
   стационар нуқта:
   

.
Бу функция учун да юритилган мулоҳазаларни қўллаб
(*)
бўлишини топамиз, бунда

бўлиб,

бўлади.