Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари

2⁰. Функция экстремумга эришишининг етарли шарти. Айтайлик, функция нуқтанинг бирор атрофида берилган, шу атрофда барча иккинчи тартибли узлуксиз хусусий ҳосилаларга эга ва

бўлсин. Бу функциянинг Тейлор формуласи (62-маърузада келтирилган Тейлор формуласида бўлган ҳол),

шартни ҳисобга олган ҳолда, қуйидагича
(1)
бўлади, бунда иккинчи тартибли хусусий ҳосилалар

нуқтада ҳисобланган ва
.
Берилган функция иккинчи тартибли хусусий ҳосила-ларнинг стационар нуқта даги қийматларини

билан белгилаймиз. Барча иккинчи тартибли хусусий ҳосилалар

ларнинг нуқтада узлуксизлигидан

ҳамда

бўлиши келиб чиқади, бунда
.
Натижада (1) тенглик ушбу

кўринишга келади.
Агар


дейилса, сўнг да, яъни да

(бунда, да ) бўлишини эътиборга олсак, у ҳолда
(2)
бўлишини топамиз.
Маълумки, айирма да ишора сақласа, яъни да

бўлса, функция нуқтада локал минимумга,

бўлса, функция нуқтада локал максимумга эришади.
Юқоридаги (2) тенгликдан кўринадики, нинг ишораси коэффициентлари

бўлган
(3)
квадратик формага бођлиқ бўлади.
2-теорема. Агар (3) квадратик форма мусбат аниқланган бўлса, функция нуқтада локал минимумга, манфий аниқланган бўлса, локал максимумга эришади.
Агар (3) квадратик форма ноаниқ бўлса, функция нуқтада локал эстремумга эришмайди.
◄ Бу теорема, кейинги пунктда, хусусий ҳолда яъни икки ўзгарувчили функциялар учун исботланади.►(қаралсин, , 13-боб)