Да бирор e туплам берилган булсин

2-Amaliy mashg’ulot. Kompleks o’zgaruvchining funksiyasi, geometrik talqini. Kompleks o’zgaruvchili funksiyaning hosilasi. Analitik funksiya.

да бирор E туплам берилган булсин: .
1-таъриф. Агар Е тупламдаги хар бир z комплекс сонга бирор f коида ёки конунга кура битта w комплекс сон мос куйилган булса Е тупламда функция берилган деб аталади ва у
yoki
каби белгиланади. Бунда Е функсиянинг аникланиш туплами, z -эркли узгарувчи ёки функция аргументи, эса z узгарувчининг функцияси дейилади.

Айтайлик, w=f(z) функция бирор ( ) тупламда берилган булсин, яъни f коидага кура хар бир сонга битта сон мос куйилган булсин.

Демак,

кейинги тенгликдан
булиши келиб чикади.
Демак, E тупламда w=f(z) функциянинг берилиши шу тупламда x ва y хакикий узгарувчиларнинг

функцияларининг берилишидек экан.
Одатда, u=u(x,y) функция w=f(z) функциянинг хакикий кисми, v=v(x,y) эса w=f(z) нинг мавхум кисми дейилади:

Фараз килайлик w=f(z) функция Е тупламда берилган булсин.
2-таъриф. Агар z аргументнинг E тупламдан олинган турли кийматларида f функциянинг мос кийматлари хам турлича булса, яъни тенгликдан тенглик келиб чикса, функция тупламда бир япрокли функция дейилади.
Фараз килайлик w=f(z) функция Е тупламда берилган булиб, z₀ нуrта Е тупламнинг лимит нуктаси булсин.
3-таъриф. Aгар сон учун шундай сон топилсаки, z аргументнинг тенгсизликни каноатлантирувчи барча кийматларида

тенгсизлик бажарилса, А комплекс сон функциянинг даги лимити деб аталади ва


каби белгиланади.
4-таъриф. Агар , сон учун шундай сон топилсаки, z аргументнинг тенгсизликни каноатлантирувчи барча кийматларида

тенгсизлик бажарилса, функция z₀ нуктада узлуксиз деб аталада ва куйидагича белгиланади

,
одатда, айирма функция аргументининг орттирмаси дейилади ва
каби белгиланади.

Ушбу айирма эса, функция орттирмаси дейилади ва

каби белгиланади.
5-таъриф. Агар да хам нолга интилса, яъни

булса, функция нуктадаузлуксиз дейилади.
6-таъриф. Агар функция тупламнинг хар бир нуктасида узлуксиз булса, функция Е тупламда узлуксиз дейилади.
1-Масала. Қуйидаги
функция аниқлаган эгри чизиқни топинг.
_{Ечилиши}. _{параболанинг икки марта босиб утилган унг ярим булаги.}
2-Масала. Қуйидаги функция аниқлаган эгри чизиқни топинг.
_{Ечилиши}. айлананинг юкори ярим текисликдаги кисми.
_{3-Масала}. функцияни соҳада бир япроқликка текширинг.
Бу масалани ечишда юкорида келтирилган таърифдан фойдаланамиз.
Фараз қилайлик лар учун яъни бўлсин
Берилган функциянинг Е тўпламда бир япроқли бўлиши учун шу тўпламнинг

тенгликни қаноатлантирувчи нуқталарни ўзида сақламаслиги зарур ва етарли. Лекин,

функция Е соҳада бир япроқли бўлмайди
3-Масала. функцияни узлуксизликка текширинг.
нуқталар функциянинг узилиш нуқталари.Қолган барча нуқталарда функциянинг узлуксиз эканлигини кўрсатамиз. учун

бўлиб, бу тенгликдан эканлиги келиб чиқади.Бу эса функциянинг нуқтада узлуксиз эканлигини англатади
4-Масала. Куйидаги функцияни сохада текис узлуксизликка текширинг.
Ечилиши. Кантор теоремасига кура функция чегараланган ёпик тупламда узлуксиз булса, функция шу тупламда текис узлуксиз булади. Е туплам чегараланган, берилган функция шу тупламда узлуксиз, хакикатдан хам булиб, да лимитга утсак. булади ва демак узлуксизликнинг орттирмалар тилидаги таърифига кура берилган функция чегараланган ёпик тупламда узлуксиз. Кантор теоремасига кура бу функция да текис узлуксиз булади.


Мустакил ечиш учун мисоллар.
1-Масала. Қуйидаги w=f(z) функция аниқлаган эгри чизиқни топинг.

_{Функцияларни берилган сохаларда бир япрокликка текширинг.}