Сиртга ўтказилган уринма текислик ва нормал тенгламалар. Кўп ўзгарувчили функсиянинг екстремумлари Режа

Сиртга ўтказилган уринма текислик ва нормал тенгламалар. Кўп ўзгарувчили функсиянинг екстремумлари


Режа:


1. Уринма текислик таърифи.
2. Уринма текисликнинг ягоналиги хақидаги теорема.
3. Уринма текислик тенгламалари.
4.Сиртнинг нормали ва унинг тенгламаси.
5. Кўп ўзгарувчили функсиянинг екстремумлари
Айтайлик Ф сирт ва унда ётувчи Р нуқта олайлик. Р нуқта орқали ( текисликни ўтказамиз. Сирт устида Р нуқтага яқин Қ нуқтани оламиз. Қуйидаги белгилашларни киритамиз: =(Қ,)=ҳ, (Қ, р)=д.
Таъриф. Агар Қ нуқта Р нуқтага интилганда ҳ/д 0 га интилса( текисликни Ф сиртнинг Р нуқтасидаги уринма текислиги дейилади.
Теорема. Хар қандай Ф силлиқ сирт ўзининг хар бир нуқтасида уринма текисликка ега бўлиб, у ягонадир. Агар р=р(у,в) тенглама Ф сиртнинг силлиқ параметрланган бўлса, Р нуқтадаги уринма текислик ру ва рв векторларга // дир.
Исбот. Фараз қилайлик ( текислик Ф сиртнинг Р нуқтасидаги уринма текислиги бўлсин. У холда таърифга асосан Қ(р да (ҳ/д)(0 бўлади. Агар н орқали ( текисликнинг normal бирлик векторини белгиласак
д=|р(у+у, в+в)-р(у,в)|
_­ҳ=|(р(у+у, в+в)-р(у,в))н|
бўлади. Бундан
(ҳ/д)= |(р(у+у, в+в)-р(у,в))н|/|р(у+у, в+в)-р(у,в)|
нисбат 0 га интилади.
Таърифга асосан (у ва (в ларнинг хар бири алохида 0 га интилганда (ҳ/д)(0 бўлади.
Хусусан,
(|(р(у+у, в)-р(у,в))н|/|р(у+у, в)-р(у,в)|)0
Лекин охирги ифодани surat ва махражини у га бо ълиб, u0 да лимитга ўцак,
(|р_u(у,в)н|/|р_u(у,в)|)0
ни топамиз.
Демак, р_u(у,в)н=0. Бундан р_uн келиб чиқади. Бу еса р_u векторни  текисликка parallel еканини кўрсатади. Худди шунингдек р_vн=0 дан р_v н ни ёки р_v// еканини топамиз.
Агар р_u ва р_v векторларни 0 дан фарқли ва [р_u, r_v]0 еканини етиборга олсак, уринма текисликнинг ягоналиги келиб чиқади. Шунингдек уринма текисликнинг мавжуд екандигини хам кўрсатиш осон.
Уринма текисликнинг тенгламалари.