Сиртга ўтказилган уринма текислик ва нормал тенгламалар. Кўп ўзгарувчили функсиянинг екстремумлари Режа

Фараз қилайлик Ф сирт
х=ф₁(у,в), й=ф₂(у,в), з=ф₃(у,в)
параметрик тенгламалар билан берилган бўлсин. Р(х₀,й₀,з₀) нуқтадаги уринма текисликнинг ўзгарувчи нуқтаси А(х,й,з) бўлсин. У холда юкорида исбот қилинган теоремага асосан , , векторлар компланар бўлади. Компланарлик шартига асосан уланинг аралаш кўпайтмаси 0 га тенг бўлади.
Бундан уринма текисликнинг тенгламасини қуйидаги кўринишда ёзамиз.


=0
Агар сирт тенгламаси з=ф(х,й) кўринишда берилган бўлса,
бу тенглама
х=у, й=в, з=ф(у,в)
кўринишдаги параемтрик тенгламага тенг кучлидир. Шунинг учун уринма текислик тенгламаси куйидаги кўринишда бўлади:
=0
ёки
з-ф(х₀,й₀)= ф_x(х₀,й₀)(х-х₀)+ ф_y(х₀,й₀)(й-й₀)
Енди Ф сирт
(х,й,з)=0 (_x²+_y²+_z²0)
кўринишдаги ошкормас тенгламалар билан берилган бўлсин. Фараз килайлик
х=х(у,в), й=й(у,в), з=з(у,в)
тенглама Ф сиртнинг қандайдир параметрик тенгламаси бўлсин. У холда қуйидаги
( х(у,в), й(у,в), з(у,в))=0
айниятга ега бўламиз. Бу айниятни у ва в параметрлар бўйича дифференциаллаб қуйидагини оламиз:
_xx_u+_yy_u+_zz_u=0
_xx_v+_yy_v+_zz_v=0
Охирги тенгликлар шуни кўрсатадики, (_x, _y, _z) вектор р_u(х_u, й_u, з_u) р_v(х_v, й_v, з_v) векторларнинг хар бирига перпендикуляр екан, чунки уларнинг скаляр кўпайтмаси 0 га тенг бўлди. Демак, бу вектор уринма текисликка перпендикуляр екан. Буни етиборга олиб уринма текислик тенгламасини осонгина ёза оламиз, яъни
_x(х-х₀)+_y(й-й₀)+_z(з-з₀)=0