Сирт интеграллари

Сирт интеграллари ва хоссалари. Сирт интеграллари хисоблаш

Режа:

1. 
   Биринчи тур сирт интеграли.
   
2. 
   Биринчи тур сирт интегралининг асосий хоссалари.
   
3. 
   Биринчи тур сирт интегралини хисоблаш.
   
4. 
   Иккинчи тур сирт интеграли.
   
5. 
   Иккинчи тур сирт интегралини хисоблаш.
   

Фараз килайлик, силлик  сиртда f(x,y,z) функция берилган булсин (агар текисликнинг хар бир нуктасида вазияти нуктадан нуктагаутганда узлуксиз узгарадиган уринма текислик мавжуд булса, сиртсиллик дейилади). Бу сиртни юзлари _i га тенг булган n та ихтиёрий кисмга буламиз. Хар бир кисм сиртда M_i(x_i,y_i,z_i) нуктани танлаб оламиз ва куйидаги йигиндини тузамиз:

(1)
(4.1) куринишдаги йигинди  сиртда f(x,y,z) функция учун биринчи тур сирт интеграли йигиндиси дейилади.
Т А Ъ Р И Ф : _i юзчаларнинг энг катта d диаметрининг узунлиги нолга интилгандаги (4.1) интеграл йигиндининг лимити f(x,y,z) функциянинг  сирт буйича олинган биринчи тур сиртинтеграл дейилади ва бундай белгиланади:
,
бунда - интеграллаш сохаси.
Агар  сиртда f(x,y,z)1 булса, у холда

булади, бунда S- сиртнинг юзи, яъни биринчи тур сирт интеграли ёрдамида сиртларнинг юзини хисоблаш мумкин.
Энди биринчи тур сирт интегралининг асосий хоссаларини исботсиз келтирамиз:
1-хосса. Доимий купайтувчини I тур сирт интеграли ишорасидан ташкарига чикариш мумкин, яъни
,
бунда k – узгармас сон.
2-хосса. Бир нечта функцияларнинг алгебраик йигиндисидан олинган сирт интеграли кушилувчилардан сирт буйича олинган интегралнинг алгебраик йигиндисига тенг:

3-хосса. Агар  интеграллаш сохаси бир нечта кисмга булинса, у холда бутун сирт буйича олинган сирт интеграли хар бир кисм буйича олинган сирт интеграллари йигиндисига тенг булади, яъни
,
Энди биринчи тур сирт интегралини хисоблаш билан шугулланамиз. Биринчи тур сирт интегралини хисоблаш уни каррали интегралга келтириш билан амалга оширилади.  сирт z=z(x,y) тенглама билан берилган булсин, бунда z(x,y) функциянинг узи ва унинг хусусий хосилалари _ху ёпик сохада узлуксиз булиб, бу соха  сиртнинг хар бир нуктасида узлуксиз булсин. Бу сиртни _i (i= ) юзли n та булакка булинишини хосил киламиз. Сиртнинг хар бир булагини _i юзи куйидагига тенг:
,
бу каррали интегралга урта киймат хакидаги теоремани куллаб, ушбуни хосил киламиз:
, (2)
бунда S_i - _i сирт кисмининг Оху текисликдаги проекциясининг юзи, х_i , у_i - S_i сохадаги бирорта нукта _i кисм сиртдаги х_i , у_i , z_i (х_i , у_i) координатали нуктани М_i билан белгилаймиз, бунда (х_i , у_i ) – (2) формуладаги нукта.  сиртда f(х,у,z) функция учун интеграл йигиндини тузамиз:

(3)
Бу тенгликнинг унг кисмида _ху сохада узлуксиз булган

функциядан олинган каррали интеграл учун интеграл йигинди жойлашган. Шунинг учун (3) тенглама унг кисмининг лимити биринчи тур сирт интегралига тенг:

(3) тенгликда _i диаметрлардан энг каттасининг нолга интилгандаги лимитига утиб, куйидагини хосил киламиз:
= (4)
(4) формула  сирт буйича сирт интегралининг  сиртнинг Оху текисликка _ху проекцияси буйича олинган каррали интеграл оркали ифодасини беради.
 сирт буйича олинган интегрални шу сиртнинг Оуz ва Охz текисликларга _уz ва _zх проекциялари буйича олинган каррали интеграллар оркали ифодаловчи формулалар хам худди шунга ухшаш хосил килинади.