Сирт интеграллари

Сирт интеграллари

Режа:

1. 
   Биринчи тур сирт интеграли.
   
2. 
   Биринчи тур сирт интегралининг асосий хоссалари.
   
3. 
   Биринчи тур сирт интегралини хисоблаш..
   

Фараз килайлик, силлик  сиртда f(x,y,z) функция берилган булсин (агар текисликнинг хар бир нуктасида вазияти нуктадан нуктагаутганда узлуксиз узгарадиган уринма текислик мавжуд булса, сиртсиллик дейилади). Бу сиртни юзлари _i га тенг булган n та ихтиёрий кисмга буламиз. Хар бир кисм сиртда M_i(x_i,y_i,z_i) нуктани танлаб оламиз ва куйидаги йигиндини тузамиз:

(1)
(4.1) куринишдаги йигинди  сиртда f(x,y,z) функция учун биринчи тур сирт интеграли йигиндиси дейилади.
Т А Ъ Р И Ф : _i юзчаларнинг энг катта d диаметрининг узунлиги нолга интилгандаги (4.1) интеграл йигиндининг лимити f(x,y,z) функциянинг  сирт буйича олинган биринчи тур сиртинтеграл дейилади ва бундай белгиланади:
,
бунда - интеграллаш сохаси.
Агар  сиртда f(x,y,z)1 булса, у холда

булади, бунда S- сиртнинг юзи, яъни биринчи тур сирт интеграли ёрдамида сиртларнинг юзини хисоблаш мумкин.
Энди биринчи тур сирт интегралининг асосий хоссаларини исботсиз келтирамиз:
1-хосса. Доимий купайтувчини I тур сирт интеграли ишорасидан ташкарига чикариш мумкин, яъни
,
бунда k – узгармас сон.
2-хосса. Бир нечта функцияларнинг алгебраик йигиндисидан олинган сирт интеграли кушилувчилардан сирт буйича олинган интегралнинг алгебраик йигиндисига тенг:

3-хосса. Агар  интеграллаш сохаси бир нечта кисмга булинса, у холда бутун сирт буйича олинган сирт интеграли хар бир кисм буйича олинган сирт интеграллари йигиндисига тенг булади, яъни
,
Энди биринчи тур сирт интегралини хисоблаш билан шугулланамиз. Биринчи тур сирт интегралини хисоблаш уни каррали интегралга келтириш билан амалга оширилади.  сирт z=z(x,y) тенглама билан берилган булсин, бунда z(x,y) функциянинг узи ва унинг хусусий хосилалари _ху ёпик сохада узлуксиз булиб, бу соха  сиртнинг хар бир нуктасида узлуксиз булсин. Бу сиртни _i (i= ) юзли n та булакка булинишини хосил киламиз. Сиртнинг хар бир булагини _i юзи куйидагига тенг:
,
бу каррали интегралга урта киймат хакидаги теоремани куллаб, ушбуни хосил киламиз:
, (2)
бунда S_i - _i сирт кисмининг Оху текисликдаги проекциясининг юзи, х_i , у_i - S_i сохадаги бирорта нукта _i кисм сиртдаги х_i , у_i , z_i (х_i , у_i) координатали нуктани М_i билан белгилаймиз, бунда (х_i , у_i ) – (2) формуладаги нукта.  сиртда f(х,у,z) функция учун интеграл йигиндини тузамиз:

(3)
Бу тенгликнинг унг кисмида _ху сохада узлуксиз булган

функциядан олинган каррали интеграл учун интеграл йигинди жойлашган. Шунинг учун (3) тенглама унг кисмининг лимити биринчи тур сирт интегралига тенг:

(3) тенгликда _i диаметрлардан энг каттасининг нолга интилгандаги лимитига утиб, куйидагини хосил киламиз:
= (4)
(4) формула  сирт буйича сирт интегралининг  сиртнинг Оху текисликка _ху проекцияси буйича олинган каррали интеграл оркали ифодасини беради.
 сирт буйича олинган интегрални шу сиртнинг Оуz ва Охz текисликларга _уz ва _zх проекциялари буйича олинган каррали интеграллар оркали ифодаловчи формулалар хам худди шунга ухшаш хосил килинади.