Сирт интеграллари

Мисол. Биринчи тур сирт интеграли хисоблансин:

б унда  сирт х+у+z=1 текисликнинг биринчи октантда жойлашган кисми. z y
Ечиш.  сирт z=1-x-y y=1-x
z=1-x-y
тенглама билан берилган. у х
(1-чизма). Бундан 1 а) б)
х 1-чизма
га эга буламиз. Ох, Оу координата уклари ва у=1-х тугри чизик билан чегараланган учбурчак _ху интеграллаш сохаси булади. (1-чизма). Изланаётган интегрални (4) формула буйича хисоблаймиз:

Сиртнинг маълум томонини танлаш сиртни ориентация килиш дейилади.

M_i
z


x

(_i)_xy

2-чизма. 3-чизма.

Агар  - L контур билан чегараланган, ориентацияланган, узини кесиб утадиган нукталари булмаган сирт булса (2-чизма), у холда бу контурни айланиб чикиш йуналишини мусбат деб хисоблаймиз, агар бу контур буйича харакатланишда  сирт айланаётган нуктага нисбатан чап томонда колса. Контурни айланиб утишнинг карама-карши йуналиши манфий йуналиш дейилади.

Фараз килайлик,  - силлик, чегараланган, ориентацияланган сирт булсин. Агар нормалар Оz уки билан уткир бурчаклар ташкил этса, у холда сиртнинг устки томони танланган деймиз, акс холда эса остки томони танланган деймиз. Бу сиртда R(x,у,z) чегараланган функцияни караймиз (3-чизма). Бу сиртни ихтиёрий n та _i кисмларга ажратамиз, ва _i сиртнинг Оху текисликдаги проекциясининг юзини (_i)_ху билан белгилаймиз. Хар бир _i кисм сиртда ихтиёрий М_i( ) нуктани белгилаймиз, бу нукталарда R(x,у,z) функциянинг кийматини хисоблаймиз ва куйидаги йигиндини тузамиз:

(5)
(5) куринишдаги йигинди  сиртда R(x,у,z) функция учун II тур сирт интеграли йигиндиси дейилади.
Т А Ъ Р И Ф: (5) интеграл йигиндининг _i юзлар энг катта d диаметрининг узунлиги нолга интилгандаги лимити  сиртнинг танланган томони буйича х ва у координаталар буйича R(x,у,z) функциядан олинган II тур сирт интеграли дейилади хамда бундай белгиланади:

Р(x,у,z) функциядан у ва z координаталар буйича олинган ва Q(x,у,z) функциядан х ва z координаталар буйича олинган II тур сирт интеграли шунга ухшаш аникланади:
,
Бу интегралларнинг йигиндиси координатлар буйича II тур умумий сирт интеграли дейилади ва бундай белгиланади:

Иккинчи тур сирт интеграли биринчи тур сирт интеграли эга булган хоссаларга эга, бирок биринчи тур сирт интегралидан фаркли равишда сиртнинг томони узгарганда (яъни ориентация узгарганда) у ишорасини узгартиради.
Иккинчи тур сирт интеграли каррали интегралга келтириб хисобланади. Фараз килайлик, ориентация килинган (устки томонини танлаб оламиз)  силлик сирт z=z(x,у) тенглама билан ифодаланган булсин, бу ерда z(x,у) функция _х.у соха  сиртнинг Оху текисликдаги проекцияси, R(x,у,z) эса бу сиртнинг хар бир нуктасидаги узлуксиз функция.
 сиртни ихтиёрий n та _i кисмга ажратамиз ва бу булинишни Оху текисликка проекциялаймиз. _х.у соха мос холда S_i , (i=1,…,n) юзли n та кисмга булинади. Куйидаги интеграл йигиндини тузамиз:

бунда S_i ифода - _i нинг Оху текисликдаги проекциясининг юзи, булгани учун
(6)
булади.
(6) текисликнинг унг кисмида _х.у сохада узлуксиз булган R(x,у,z(х,у)) функция каррали интегралининг йигиндиси жойлашган. (6) да d0 да лимитга утиб

формула хосил киламиз. Бу формула х ва у координаталар буйича II тур сирт интегралини каррали интеграл оркали ифодалайди.

АДАБИЁТЛАР РУЙХАТИ.

1. 
   Пискунов Н.С. “Дифференциал ва интеграл хисоб”, 2- том, Т.. “Укитувчи”, 1974.
   
2. 
   Соатов Ё. У. “Олий математика”, 1-жилд, Т. “Укитувчи”, 1994
   
3. 
   Смирнов В.И. “Курс высшей математики”. М. “Наука”, 1974, Т.2.
   
4. 
   Ефимов А.В. . Золотарев Ю.Г. , Терпигорева В.М. “Математический анализ” (специальные разделы) М. “Высшая школа”, 1980, ч.2
   
5. 
   Майдон назарияси элементлари Тешаев м.х Маърузал матни
   
6. 
   www.ziyonet.uz