Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари

3-теорема. Агар
(4)
квадратик форма мусбат аниқланган, яъни

бўлса, функция нуқтада локал минимумга эришади, агар (4) квадратик форма манфий аниқланган, яъни

бўлса, функуия нуқтада локал максимумга эришади.
◄ Маълумки, функциянинг нуқтада экстремумга эришиши да ушбу

айирманинг ишора сақлаши билан бођлиқ:
да бўлса,
нуқтада локал минимум, бўлса. нуқтада локал максимум содир бўлади.
айирманинг ишорасини аниқлаш қулай бўлиши мақсадида (4) да

алмаштиришни бажарамиз, бунда
.
Натижада (*) муносабат ушбу
(5)
кўринишга келади.
Айтайлик,

бўлсин.
Равшанки,

Айни пайтда, бу функция, нинг функцияси сифатида да узлуксиз бўлиб, ўзининг энг кичик қиймати (уни билан белгилайлик) га эга бўлади:
.
Иккинчи томондан, яъни да бўлганлиги сабабли, нинг етардли кичик қийматларида

бўлаолади.
Демак, бўлганда (5) тенгликнинг ўнг томонидаги ифода мусбат бўлади. Бинобарин,

бўлиб, функция нуқтада локал минимумга эришади.
Айтайлик,

бўлсин. Бу ҳолда (5) тенгликнинг ўнг томонидаги ифода манфий бўлади. Бинобарин,

бўлиб, функция нуқтада локал максимумга эришади.►
3-эслатма. Агар

бўлса, функция нуқтада экстремумга эришмайди.
4-эслатма. Агар

бўлса, функция нуқтада экстремумга эришиши ҳам мумкин, эришмаслиги ҳам мумкин (қаралсин, , 13-боб).
2-мисол. Ушбу

функция экстремумга текширилсин.
◄Аввало берилган функциянинг стационар нуқталарини топамиз:

.
Демак, стационар нуқта.
Равшанки,
.
Демак,

ва бўлганлиги учун берилган функция нуқтада локал минимумга эришади ва

бўлади.►
3-мисол. Ушбу



функциялар экстремумга текширилсин.
◄Берилган функциялар учун стационар нуқта бўлади. Бу функциялар учун

бўлади. Равшанки, нуқтада функция минимумга, функция эса максимумга эришади. функция нуқтада экстремумга эга бўлмайди.►