Кучланиш тензори

Деформация ва кучланиш тензорлари орасидаги боғланишлар. Изотроп ва анизотроп жисмлар. Умумлашган Гук қонуни.

Тажриба-синовлардан маълумки, кучланииш ва деформация орасидаги боғланишни ифодаловчи чизиқ одатда эгри чизиқ кўринида бўлади ва деформацияланиш диаграммаси деб аталади(1-расм). Деформацияланиш диаграммаси жисмга таъсир этувчи кучнинг эластиклик чегараси деб аталувчи даражасигача тўғри чизикли кўринишида бўлади( 1-расм).

1-расм
Умумий холда кучланиш ва деформация тензорлари орасидаги боғланишни қуйидаги чизиқсиз функция кўринишида ифодалаш мумкин, яъни
(1)
Бу ифодани деформациялар диаграммасининг чизиқли қисми учун қуйидаги кўринишда чизиқли тензор функция(умумлашган Гук қонуни) кўринида ёзиб олиш мумкин


(2)

бу ерда - 4-рангли симметрик тензор бўлиб, умумий холда =81 компонентага эга ва анизотроп жисмни ифодалайди. Одатда, бу компоненталар, жисмларнинг симметриклик хоссаларига боғлиқ равишда тажрибалардан аниқланади.

Агар қуйидаги симметриклик шартлари ўринли бўлса
(3)
Компонентлар сони 36 тагача камаяди. Яна қуйидаги симметриклик шартлари ҳисобга олинса
(4)
компонентлар сони 21 та бўлади. Энди, жисмларнинг эластиклик хоссалари 3 та ўзаро ортогональ текисликларга нисбатан симметрик бўлса, компоненталар сони 9 та бўлади ва бундай жисм ортотроп материал деб аталади. Ортотроп жисмлар учун тензор қуйидаги кўринишга эга бўлади
(5)

Тензор компонентларига нисбатан, яна қуйидаги симметриклик шартлари бажарилса,

(6)
Бу шартларнинг бажарилиши, қаралаётган жисмнинг хоссалари OX₃ ўқига нисбатан айланишларга ва шу ўқ ётувчи текисликка нисбатан симметрик эканлигини ифодалайди ва жисмнинг транверсаль изотроп эканлигини англатади.
Агар куйидаги шартлар бажарилган бўлса
(7)


қуйидаги кўринишга эга бўлади


(8)
ва материалнинг хоссаоари хамма йўналишда бир хиллигини яни жисм изотроп эканлигини англатади.


Изотроп жисмлар учун Гук қонуни

(8) - ифодани тензорни қуйдагича ёзиб олиш мумкин

(9 )

(9) ифодани (2) - тенгликка қўйиб

(10)
ёки
(11)

бу ерда - изотроп эластик жисм учун ўзгармаслар. (11)- ифоданинг ёйилмаси куйидаги кўринишни олади

(12)

техник ўзгармаслар билан қуйидагича боғланган